§ 4. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ОСИ ГИРОСКОПА В ПЛОСКОСТИ, СОВЕРШАЮЩЕЙ РАВНОМЕРНОЕ ВРАЩЕНИЕ

398. Уравнение относительного движения оси гироскопа.

Пусть гироскоп, закрепленный в точке О своей оси Oz, вращается с угловой скоростью в положительную сторону вокруг этой оси. Предположим, что при помощи какого-нибудь приспособления, действующего на ось, последняя удерживается в подвижной плоскости (Р), которая вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси ON, проходящей через точку опоры.

Требуется изучить относительное движение оси гироскопа в плоскости (Р).

Можно было бы связать эту задачу с предыдущими уравнениями, но так как оказывается более удобным отнести движение к другим системам отсчета, то лучше рассмотреть вопрос сначала и составить уравнение движения гироскопа, обращаясь к теореме моментов.

Определим сначала систему трех прямоугольных осей , связанных с движущейся плоскостью (Р). Возьмем за ось ОХ нормаль к этой плоскости, проведенную в ту сторону, где находится вектор и (фиг. 55); ось OZ направим вдоль проекции угловой скорости и на плоскость (Р); за ось О Y возьмем перпендикуляр, проведенный к OZ в плоскости (Р) в ту сторону,

чтобы триэдр OXYZ имел направление вращения против часовой стрелки.

Обозначим через а. постоянный угол оси OZ с вектором (о (или ON) и через переменный угол между осью OZ и осью Oz гироскопа, считая этот угол положительным в направлении от ОУ к OZ.

Определим теперь вторую систему прямоугольных осей движущихся одновременно относительно плоскости (Р) и относительно гироскопа. Проведем в плоскости (Р) ось Оу перпендикулярно к оси Oz тела (лежащей по предположению в этой плоскости) таким образом, чтобы триэдр OXyz имел направление вращения против часовой стрелки. Этот триэдр образован тремя главными осями инерции гироскопа, из которых две оси, ОХ и Оу, движутся в теле.

Фиг. 55

Абсолютное движение гироскопа может быть разложено на три одновременных вращения:

1°. Относительное вращение вокруг оси тела по отношению к триэдру OXyz.

2°. Первое переносное вращение V вокруг оси ОХ, представляющее собой движение триэдра OXyz относительно плоскости (Р), связанной с системой .

3°. Второе переносное вращение со, представляющее собой вращение плоскости (Р) вокруг

Отсюда следует, что проекции Р, Q, R вектора угловой скорости триэдра OXyz на три оси ОХ, Оу и Oz того же триэдра имеют выражения:

проекции же угловой скорости (X) самого гироскопа равны

После того как это установлено, для получения уравнения относительного движения оси Oz в плоскости (Р) достаточно применить теорему моментов к оси ОХ, нормальной к этой плоскости.

Пусть Ох есть результирующий момент прямо приложенных сил относительно оси ОХ. Результирующий момент сил связи равен нулю, так как силы связи представляют собой реакции плоскости (Р), нормальные к плоскости и, следовательно, параллельные оси ОХ. Нужно выразить, что проекция на ось ОХ абсолютной скорости конца К вектора кинетического момента равна

Пусть А, А, С будут три главных момента инерции гироскопа относительно центра О. Координаты точки К относительно осей OXyz будут:

Проекция относительной скорости точки К (в системе OXyz) на ось ОХ равна

проекция переносной скорости той же точки, получающейся от вращения (Р, Q, R) осей OXyz, будет

Сумма двух проекций равна мы получаем, таким образом, искомое уравнение

Заменим Р, Q, R их значениями (1), полученными выше. Тогда написанное уравнение примет вид:

Если силы, прямо приложенные к гироскопу, действуют на его ось, то, на основании третьего уравнения Эйлера (п°361), проекция абсолютной угловой скорости на эту ось есть постоянная . Уравнение (1) содержит лишь одну неизвестную значение которой определяет положение оси Oz в плоскости (Р).

Это уравнение второго порядка представляет собой поэтому дифференциальное уравнение относительного движения оси гироскопа в плоскости (Р).

399. Момент кажущихся сил в относительном движении.

Если бы плоскость (Р) была неподвижна, то было бы равно нулю и уравнение (1) приводилось бы к виду

Если плоскость имеет постоянную угловую скорость со, то уравнение получает вид:

где

Выражение для представляет собой кажущийся момент, который нужно прибавить к чтобы относительное движение оси в плоскости (Р) можно было рассматривать как абсолютное движение. Оно дает, следовательно, результирующий момент относительно оси ОХ сложных центробежных и переносных сил инерции, вызванных постоянным вращением плоскости (Р).

Легко отделить момент сложных центробежных сил от момента переносных сил инерции. Для этого нужно заменить величину , зависящую от ее значением в функции от «о

и разделить в выражении члены и Эти два члена,

и представляют собой соответственно момент сложных центробежных сил (пропорциональных со) и момент переносных центробежных сил (пропорциональных ).

Вспомним, что есть относительная угловая скорость гироскопа по отношению к плоскости (Р) в его вращении вокруг своей оси.

В частности, когда нет движущих сил, движение оси Oz в плоскости (Р) будет определяться исключительно кажущимся моментом Этот случай мы сейчас и рассмотрим.

400. Случай, когда нет движущей силы.

Изучим случай, когда гироскоп находится под действием только сил связей. Предполагается, что эти силы приложены к самой оси, так что проекция абсолютной угловой скорости гироскопа на его ось есть постоянная величина Условимся, как обычно, проводить ось Oz в сторону проекции так что угловая скорость будет положительна.

Уравнение относительного движения оси Oz в плоскости (Р) есть уравнение (2) п° 398, которое приводится здесь к виду.

где

Определим, не имеются ли положения относительного равновесия оси Oz в плоскости (Р), т. е. положения, в которых

Если , то момент обращается в нуль, каково бы ни было X, т. е. при любых положениях оси Таким образом, эта ось находится в равновесии во всех своих положениях. Однако при этом предположении плоскость (Р), вращаясь, лишь скользит по самой себе, и движение ее не оказывает никакого влияния на гироскоп. Мы исключим поэтому этот случай, не имеющий интереса, и будем предполагать, что .

Положения равновесия определяются тогда значениями которые обращают в нуль. Это будут прежде всего те значения X, которые обращают в нуль множитель т. е.

Эти значения X определяют две ориентации оси Oz, при которых угол расхождения между двумя осями вращения, Oz и ON, гироскопа и плоскости, достигает наименьшей и наибольшей величины. Мы увидим сейчас, что первый угол дает положение устойчивого, а второй — положение неустойчивого равновесия оси гироскопа в плоскости (Р).

Если угловая скорость не очень велика по сравнению с W, так что имеет место неравенство

то существуют два других положения равновесия, соответствующие значениям X, которые обращают в нуль множитель т. е. для которых имеем

Если достаточно велико или со достаточно мало, то это соотношение делается невозможным, так как правая часть будет по величине больше единицы. В этом случае все время имеет знак (так как предполагаются положительными на основании введенных ранее условий). Отсюда следует, что момент действует в отрицательную сторону, если X заключено между , и в положительную сторону, если X заключено между . В обоих случаях этот момент стремится уменьшить абсолютное значение угла X, т. е. стремится привести ось Oz тела к совпадению с осью OZ и, следовательно, к положению, где взаимное отклонение двух осей вращения Oz и ON наименьшее. Это положение является поэтому единственным возможным положением устойчивого равновесия.

Мы получили, таким образом, следующую замечательную теорему, представляющую собой следствие принципа стремления осей вращения к параллельности в относительном движении:

Если гироскоп, закрепленный в точке О своей оси, быстро вращается вокруг нее и если эта ось вынуждена скользить в плоскости (Р), которая, в свою очередь, равномерно вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О, то в этой плоскости возникает фиктивная пара, стремящаяся привести ось вращения гироскопа (относительное вращение) в положение, где она составляет наименьший возможный угол с осью вращения подвижной плоскости (переносное вращение). В этой формулировке обе оси вращения рассматриваются с учетом их положительного направления.

Из предыдущей теоремы следует, что ось гироскопа будет совершать в подвижной плоскости колебательное движение около ее положения устойчивого равновесия. Так как в действительности всегда имеются трение и пассивные сопротивления, которые гасят колебания, то ось симметрии тела остановится,

совершив некоторое число колебаний, в положении устойчивого равновесия, которое мы только что определили.

Самым простым случаем будет тот, когда , т. е. когда ось вращения плоскости (Р) лежит в этой плоскости. В этом случае ось Oz гироскопа может совпасть с осью вращения и тогда предыдущее правило принимает особенно простой вид. Оно может быть выражено следующим образом:

Если ось симметрии гироскопа, имеющего неподвижную точку О, вынуждена двигаться в плоскости и если эта плоскость проходит через неподвижную прямую (содержащую точку О), вокруг которой плоскость равномерно вращается, то относительное движение оси гироскопа в плоскости (Р) таково, как если бы на нее действовала пара сил, стремящаяся привести ее в совпадение с осью вращения плоскости, и равновесие может наступить лишь тогда, когда обе оси вращения совпадут по направлению и ориентации.

401. Колебательное движение гироскопа в подвижной плоскости (когда угловая скорость r0 очень велика).

Когда движущей силы нет, то относительное движение оси Oz в плоскости (Р) будет колебательным и определится уравнением предыдущего пункта:

Будем предполагать угловую скорость достаточно большой или угловую скорость достаточно малой, чтобы можно было пренебречь членом по сравнению с . При таком предположении предыдущее уравнение упрощается и приводится к виду

Умножим его на

получим

Проинтегрируем от начального момента, когда и положим начальное значение X равным нулю; тогда будем иметь

Мы можем положить

так как этот коэффициент положителен. Таким способом мы определяем длину

и уравнение колебательного движения принимает вид:

Это уравнение тождественно с уравнением движения простого (математического) маятника длиной и с переменным углом наклона к вертикали X, если предположить силу тяжести направленной по Oz (положение устойчивого равновесия оси Oz). Таким образом, ось Oz совершает периодические колебания около положения устойчивого равновесия. Если амплитуда колебаний мала, то период полного колебания на основании теории математического маятника равен

402. Приближенное определение кажущейся (фиктивной) пары сил инерции в относительном движении.

Можно заметить, что приближенное значение фиктивного момента, который определяет относительное колебательное движение оси гироскопа в плоскости (Р), т. е.

равно моменту постоянной силы F, параллельной вектору угловой скорости переносного вращения, направленной в сторону этого вектора и приложенной к точке оси

Если предположить, что эта сила действует на расстоянии 1 от точки О, то величина ее должна быть равна

если же она действует на расстоянии а от этой точки, то величина ее равна

Это согласуется с тем, что было установлено в п° 396, но приближение в данном частном случае оказывается лучше, чем в общем случае.

Проекция силы F на плоскость (Р) есть постоянная сила параллельная оси Oz, направленная в положительную сторону этой оси и имеющая величину

Эта сила лежащая в самой плоскости (Р), может заменить силу F при определении фиктивного момента.

Заметим еще, что эффект вращения плоскости (Р) может быть выражен и здесь действием фиктивной силы. Действие этой силы должно вызвать в точности тот эффект, который раньше был назван стремлением осей вращения к параллельности.

Изложенная здесь теория может быть применена к гироскопу Фуко и к механическому доказательству вращения Земли. В этом случае можно пренебречь членами порядка квадрата угловой скорости вращения Земли. Члены, которыми мы пренебрегали здесь, имеют тот же порядок, и потому выполненные выше вычисления строго приложимы к этому случаю. Лучше, однако, не разделять различные задачи, относящиеся к маятнику Фуко; мы отложим поэтому изучение этого вопроса до следующей главы.