§ 3. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПРЕДЫДУЩЕЙ ЗАДАЧИ

370. Разбор случаев

Эти случаи были исключены из общего исследования. Они являются предельными и требуют особого рассмотрения.

1°. Если то могут иметь место три возможных случая относительно значения

а) Пусть Полином имеющий один корень, равный единице, может быть написан в виде

Многочлец в квадратных скобках положителен для и для , отрицателен для и

он допускает поэтому корень их 1 и корень и 1. Третий корень есть Таким образом, в этом случае имеем

Это случай 3° п° 368°. При геометрическом представлении движения оси Oz верхняя окружность приводится к полюсу сферы; производная определяемая формулой (3), обращается в нуль в полюсе; точка проходит через полюс со скоростью, не равной нулю, и траектория ее не имеет в полюсе точки возврата. С качественной стороны этот случай приближается скорее к случаю 1°. Рассматриваемое движение мы получим, если предположим, что радиус верхней окружности обращается в нуль и сама окружность сводится к полюсу.

b) Пусть а 1. Полином в квадратных скобках отрицателен для и положителен для промежуточных значений, которые и принимает во время движения. Поэтому полином имеет два корня их и расположенные между -1 и +1. В этом случае имеем

что ничем существенным не отличается от случая 1°, рассмотренного в п° 368.

c) Если то мы имеем особый случай, приводящийся к элементарным квадратурам; мы обратимся к нему в следующем пункте.

2°. Пусть Полином имеет корень — 1 и может быть написан в виде

Многочлен в квадратных скобках положителен для значений и, заключенных между — 1 и +1 и принимаемых этой величиной во время движения; он отрицателен для и положителен для и — и потому имеет один корень между — другой корень . Таким образом, имеем

Этот случай входцт в более общий случай если доцустить, что нижняя параллель, имеет радиус,

равный нулю, и приводится, таким образом, к нижнему полюсу сферы.

Заметим, что предположение здесь исключено, так как оно повлекло бы и ось Oz была бы неподвижна в направлении силы тяжести, что соответствует устойчивому положению равновесия.

371. Элементарное интегрирование уравнений движения в особом случае

В этом частном случае, отмеченном в предыдущем пункте, полином допускает двойной корень и имеет вид:

Движение возможно лишь при условии, что линейное выражение в квадратных скобках имеет корень поэтому мы должны предположить

Этот корень всегда больше —1. Тогда имеем

Если и убывает, то оно должно убывать до значения после чего должно возрастать.

Предположим, что и возрастает вместе с t; тогда в последнем равенстве нужно взять знак При этом предположении и будет все время, возрастая, стремиться асимптотически к единице, - так как интеграл

увеличивается беспредельно, когда и стремится к 1.

Ось симметрии тела неограниченно стремится к вертикальному положению, направленному вверх, никогда его не достигая: эта вертикальная прямая является, таким образом, асимптотическим положением для оси тела,

Прецессия определяется формулой (3), которая дает

интегрируя, получаем

Следовательно, возрастает неограниченно по абсолютной величине, когда и стремится к 1, и ось Oz все время движется вокруг своего асимптотического положения. Это движение совершается в ту же сторону (положительную или отрицательную), как и вращение

Оба предшествующих интеграла очень легко выражаются в конечной форме, но вычисление их в данный момент не представляет интереса.

372. Случай, когда f(u) имеет два равных корня. Коническое движение (и постоянно).

Если два корня и, и функции оба меньшие единицы, равны друг другу, то значения и, которые должны (при движении) оставаться заключенными между этими корнями, постоянно равны им, и потому значение постоянно. Ось Oz совершает при этом строго коническое движение вокруг вертикали. Так как О равно нулю, то соотношения (1) п° 367 принимают вид:

или

Исключая получаем уравнение для и

Значение есть двойной корень этого уравнения и потому является в то же время корнем производной лег вой части, т. е. корнем уравнения

Если заменим их значениями из формул (1), то получим, после сокращения на общий множитель

Таким образом, при заданном значении величины и и связаны между собой соотношением

Мы видим, таким образом, что данным значениям составляющей и угла наклона оси соответствуют два значения угловой скорости прецессии определяющие коническое движение оси симметрии тела. Особенно интересен случай, когда угловая скорость велика по сравнению с При этом угловая скорость оказывается весьма малой или весьма большой. В первом случае можно написать

Мы видим, что есть малая величина порядка величины

— и что, пренебрегая ошибкой третьего порядка, можно положить

Следовательно, при больших значениях угловая скорость прецессии очень мала и не зависит от угла наклона .

Заметим, что эта предельная угловая скорость в точности равна главному значению средней угловой скорости прецессии, найденному выше (п° 365).

В случае, когда очень велико, пишем

Таким образом, пренебрегая ошибкой первого порядка, имеем

Это второе решение зависит, следовательно, от угла наклона оси симметрии тела к вертикали и перестает существовать при т. е. если эта ось горизонтальна.

Мы получим здесь соотношение между полагая равными два из корней но и может оставаться постоянным лишь при наличии этого соотношения. Действительно, в предположении конического движения это соотношение выводится из теоремы моментов. Доказательство этого мы дадим в следующей главе (п° 393).