ЧАСТЬ ШЕСТАЯ. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ

ГЛАВА XXI. ТЕОРЕМА ДАЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА

§ 1. ТЕОРЕМА ДАЛАМБЕРА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ

417. Формулировка принципа Даламбера.

Рассмотрим уравнение движения точки в векторной форме

где сумма в правой части распространяется на все силы F, приложенные к точке. Мы можем написать это уравнение в виде

Назовем силой инерции точки фиктивную силу, представляемую вектором

равным и прямо противоположным произведению ускорения на массу точки. Уравнение движения, взятое в такой форме, выражает, что в каждый момент имеет место равновесие между силами, действующими на точку, и силой инерции этой точки. В этом заключается принцип Даламбера для одной материальной точки.

Пусть теперь имеем систему из движущихся материальных точек . Обозначим через силы инерции каждой из этих точек; так как принцип Даламбера приложим к каждой из них, то уравнения движения системы показывают, что каждая из точек находится в равновесии под действием сил, приложенных к ней, и ее силы инерции. Следовательно, при движении материальной системы имеет место равновесие между всеми силами, действующими на систему, и силами инерции различных ее точек. В этом заключается принцип Даламбера для системы материальных точек. Польза от

введения этого принципа заключается в том, что на его основании составление уравнений динамической задачи можно привести к составлению уравнений соответствующей задачи статики.

418. Системы со связями.

Рассмотрим систему материальных точек, находящихся под действием заданных сил, представляющих собой прямо приложенные силы и подчиненных данным связям. В противоположность тому, что мы предполагали в статике, эти связи могут теперь изменяться с временем. Каждая точка системы может рассматриваться как свободная, находящаяся под действием прямо приложенных сил и сил связи. Поэтому, в силу принципа Даламбера, в каждый момент имеет место равновесие между прямо приложенными силами, силами связи и силами инерции. Можно еще сказать, что в каждый момент имеется равновесие, в силу связей, существующих в этот момент, между заданными силами и силами инерции. Однако в этой формулировке следует еще уточнить (что мы сейчас и сделаем) смысл слов в силу связей, существующих в этот момент.

419. Системы со связями без трения.

Как было выяснено в статике, связи называются связями без трения, если работа сил связи равна нулю для всякого перемещения, совместимого со связями. Мы будем рассматривать здесь лишь обратимые перемещения; связи, допускающие такие перемещения, называются двусторонними. Если связи не зависят от времени, то нам ничего не остается прибавить к тому, что было сказано в статике. Однако в рассматриваемом здесь случае связи могут изменяться с временем; это свойство выражается в том, что уравнения, определяющие зависимость между координатами точек системы, мэгут содержать время t. В этом более общем случае система называется системой без трения, если силы связи, действующие в некоторый момент, не производят работу при всяком перемещении, совместимом со связями, в предположении, что связи берутся такими, каковы они в момент t, т. е. когда мы даем параметру t фиксированное значение, определяющее рассматриваемый момент.

Так, например, если точка х, у, z вынуждена перемещаться по движущейся поверхности, уравнение связи имеет вид:

Связь в этом случае называется связью без трения, если в каждом из ее положений, изменяющихся вместе с t, поверхность может развить лишь нормальную реакцию. Эта нормальная реакция не будет производить работу при движении точки по поверхности лишь в том случае, когда поверхность остановлена в своем действительном положении. Такую же проверку можно произвести, когда твердое тело опирается о движущееся препятствие. Например, если тело может свободно скользить по движущейся опоре, необходимо остановить опору, чтобы работа нормальной реакции при перемещении твердого тела была равна нулю.

420. Общее уравнение динамики.

Рассмотрим систему с двусторонними связями и без трения. На основании принципа Даламбера имеет место равновесие между данными силами, силами связи и силами инерции.

Сумма работ всех этих сил равна поэтому нулю для любого виртуального перемещения системы; но если сообщить системе какое-нибудь перемещение, совместимое со связями, какими они являются в момент t, то сумма работ сил связи равна нулю, так как нет трения; поэтому работа данных сил и сил инерции также равна нулю.

Пусть будут координаты какой-нибудь точки системы, — ее масса, — проекции равнодействующей прямо приложенных к ней сил. Проекции силы инерции точки будут:

Обозначим через дуг, проекции перемещения точки совместимого со связями, какими они являются в момент t. Уравнение, выражающее то обстоятельство, что сумма элементарных работ данных сил и сил инерции равна нулю на виртуальном перемещении системы, имеет вид:

Это уравнение, которое должно иметь место для всяких перемещений, совместимых со связями, достаточно, как мы это увидим, чтобы составить дифференциальные уравнения движения. Это общее уравнение динамики систем со связями без трения. Оно отличается от общего уравнения статики лишь присутствием сил инерции.

421. Системы голономные. Исключение вариаций.

Система называется голономной, если связи выражаются конечными соотношениями, т. е. соотношениями, не содержащими дифференциалов, между координатами точек системы и временем. Это наиболее часто встречающийся и наиболее важный случай. Мы можем здесь ограничиться только им. Предположим, что координат точек системы связаны уравнениями связей

Проекции перемещений, совместимых со связями в момент t, связаны между собой соотношениями, которые мы получим, дифференцируя предыдущие уравнения в вариациях § при , в виде

В этом случае говорят, что система обладает степенями свободы. Имеется k произвольных вариаций, а остальные h вариаций выражаются через первые в силу системы (3).

Исключение вариаций может быть выполнено способом неопределенных множителей. Уравнения (3) умножают соответственно на множители подлежащие определению. После этого их складывают с уравнением (1) и приравнивают нулю коэффициенты при всех вариациях, как это делалось в статике (п° 248). Таким способом получают дифференциальных уравнений второго порядка между координатами, h множителями и временем. Эти уравнения в соединении с h уравнениями (2) достаточны для определения координат и

множителей в функции от времени и от некоторого числа произвольных постоянных интегрирования. Этот способ приводит, как и в статике (п° 248), к определению реакций, вызываемых каждой из связей.

422. Голономные системы в лагранжевых (обобщенных) координатах.

Если голономная система имеет k степеней свободы, то координат точек системы выражаются через k независимых параметров, частные значения которых определяют положение системы. В этом случае можно предполагать, что координат точек системы выражены явно через k указанных параметров и время t посредством уравнений

Параметры представляют собой лагранжевы (обобщенные) координаты голономной системы. Определение этих параметров в функции от t позволяет найти движение системы.

Перемещения, совместимые со связями, какими они являются в момент t, найдем, дифференцируя предыдущие соотношения при постоянном t и заменяя обозначения d дифференциалов обозначениями b вариаций. Таким способом получим

Эти значения подставляем в уравнение (1) и, изменяя знак, получим результат в виде:

где принято

Уравнение (5) должно иметь место, каковы бы ни были представляющие собой независимые неопределенные количества. Оно распадается поэтому на систему следующих уравнений:

являющихся дифференциальными уравнениями движения. Эти уравнения определяют обобщенных координат в функции от t и от постоянных интегрирования, которые позволяют выбрать произвольно начальные значения k координат и их первых производных.

В задачах механики число степеней свободы вообще бывает небольшим, в то время как число точек системы очень велико. Таков случай системы, состоящей из ограниченного числа твердых тел. В этом случае, и тем более, когда мы имеем дело с непрерывной средой, применение обобщенных координат позволяет, каково бы ни было число точек, свести задачу к конечному числу уравнений.