§ 2. ТЕОРИЯ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

336. Приведение движения физического маятника к движению простого маятника.

Физическим маятником называют твердое телэ, находящееся под действием только

собственного веса и имеющее неподвижную горизонтальную ось, вокруг которой оно может свободно вращаться без трения.

Проведем через центр тяжести Г тела (фиг. 44) вертикальную плоскость, перпендикулярную к неподвижной оси и пересекающую эту ось в точке О. Примем точку О за начало координат. Проведем ось Oz вертикально в сторону действия тяжести и примем только что нами определенную вертикальную плоскость за плоскость

Прямая ОГ будет двигаться в этой плоскости, и движение этой прямой позволит определить движение всего тела.

Фиг. 44

Обозначим через а расстояние ОГ, через — угол ОГ с вертикалью Oz. Будем предполагать, что угловая скорость твердого тела в начальный момент равна нулю, т. е. что оно предоставлено действию тяжести без начального толнка.

Уравнение движения может быть выведено, как в предыдущем параграфе, из теоремы моментов, которая приводит к дифференциальному уравнению второго порядка. В данном случае, однако, удобнее применить теорему живых сил, которая непосредственно дает уравнение первого порядка. Живая сила в начальный момент по предположению равна нулю; поэтому ее приращение в момент t равно самой живой силе, т. е. где — момент инерции тела относительно неподвижной оси (п° 326), а - угловая скорость . С другой стороны, работа силы тяжести (единственной силы, совершающей работу) равна весу тела, умноженному на высоту, на которую опускается его центр тяжести, т. е. равна , где Z обозначает ординату центра тяжести. Теорема живых сил дает поэтому уравнение:

Заменим и Z их значениями в функции от 6, т. е.

тогда получим

Это уравнение может быть написано в виде

где постоянная I определяется уравнением

Уравнение (1), определяющее угол в функции от t, совпадает с уравнением движения простого (или математического) маятника длиной l (п° 150). Изменения угла в случае физического маятника, определяющие движение прямой ОГ и, следовательно, движение самого физического маятника, те же самые, как и изменения угла наклона нити в случае простого маятника длиной l. Таким образом, движение физического маятника приведено к движению простого, или так называемого синхронного, маятника.

Отложим на прямой ОГ от точки О длину ОС, равную (фиг. 44). Точка С физического маятника будет двигаться совершенно так же, как простой маятник. Можно предположить, ничего не изменяя в движении этой точки, что вся остальная часть тела, представляющего собой физический маятник, за исключением этой точки, лишена массы. Точка С называется центром колебаний. Точка О на неподвижной оси называется точкой подвеса маятника.

Длина О простого синхронного маятника называется также длиной физического маятника.

Все свойства, установленные для простого маятника, применимы поэтому и к физическому маятнику. Его движение является колебательным и периодическим. Бесконечно малые колебания изохронны, и период простого колебания (половина периода полного колебания) определяется асимптотической формулой:

337. Свойства центра колебаний и точки подвеса.

Точка подвеса О и центр колебаний С обладают замечательными свойствами, которые были открыты Гюйгенсом.

1°. Центр тяжести Г лежит между точкой подвеса а центром колебаний.

Чтобы это доказать, покажем, что . Пусть есть момент инерции тела относительно оси, параллельной оси подвеса и проходящей через центр тяжести Г.

Мы имеем (п° 319)

Разделим это равенство на тогда получим, принимая во внимание равенство (2), соотношение:

2°. Точка подвеса и центр колебаний взаимны между собой.

Под этим понимают, что если заставить тело вращаться вокруг оси, проведенной в этом теле через точку С (ранее бывшую центром колебаний) параллельно прежней оси, проходившей через О, то точка О будет центром колебаний нового маятника.

Действительно, предыдущая формула дает

Множители а и измеряют отрезки ГО и ГС, так что это равенство дает соотношение

Величина сохраняет одно и то же значение, пока направление оси подвеса в теле не изменяется, и, в частности, имеет то же значение, если новая ось подвеса параллельна старой и проходит через С. При этом изменении оси подвеса первый множитель ГО произведения заменяется вторым ГС, и так как произведение обоих множителей остается то же самое, то второй множитель ГС также должен быть заменен первым. Если С станет центром подвеса, то О сделается центром колебаний.

3°. Длина l маятника остается той же самой для всех осей подвеса, параллельных между собой и лежащих на одном и том же расстоянии от центра тяжести тела.

В самом деле, k и а имеют соответственно одни и те же значения для всех указанных случаев, и формула (3) дает поэтому одно и то же значение для l.

4°. Для всех осей подвеса, параллельных одному и тому же направлению, данному в теле, длина l маятника будет, наименьшей, когда ось находится на расстоянии от центра тяжести.

Заметим, что k есть постоянная величина для этих параллельных между собой направлений, а потому l зависит только от а. Дифференцируя формулу (3) по а, получим

Эта производная переходит от отрицательных значений к положительным (вместе с множителем ), когда а проходит через значение k. Значение и дает поэтому минимум l. Этот минимум будет, на основании формулы (3),

Таким образом, для осей подвеса, имеющих одно и то же направление в теле, длина маятника будет наименьшей, когда центр тяжести находится на равных расстояниях от центра колебаний и центра подвеса.

338. Маятник Борда.

Борда для измерения ускорения силы тяжести пользовался физическим маятником, представлявшим собой платиновый шар радиуса R, подвешенный к неподвижной точке О на очень тонкой металлической нити, масса которой была так мала, что можно было считать центр тяжести маятника совпадающим с центром шара О. Принимая во внимание, что расстояние есть а, получим для длины l этого маятника, определяемой формулой (3), выражение:

где вместо величины подставлено ее значение, выведенное для сферы

В маятнике, применявшемся Борда, было . Разность l—а не достигает в этом случае мм, поэтому практически ею можно пренебречь.

339. Оборотный маятник Катера. Теорема Гюйгенса.

Гюйгенс доказал следующую теорему:

Если в плоскости, проходящей через центр тяжести твердого тела, возьмем две параллельные между собой оси подвеса, расположенные по ту и другую стороны от центра тяжести и на различных расстояниях от него, и если длина l простого синхронного маятника одна и та же в обоих случаях, то эта длина в точности равна расстоянию между осями.

Пусть — расстояния центра тяжести от двух осей; тогда при указанных предположениях имеем два соотношения:

Таким образом, а и (предполагаемые различными) необходимо являются двумя корнями одного и того же квадратного уравнения:

Следовательно, на основании свойств корней квадратного уравнения, имеем а что и доказывает теорему.

Фиг. 45

По этому принципу построен оборотный маятник Катера, который применяется в геодезии, так как его устройство позволяет легко получить заданную длину маятника.

Маятник Катера (фиг. 45) состоит из латунной линейки, имеющей две призмы С и С, ребра которых параллельны и расположены в плоскости симметрии линейки. Массивная чечевица, помещенная у одного из концов линейки, обеспечивает выполнение условия, чтобы центр тяжести не совпадал с серединой расстояния между ребрами призм. Две ползушки а и а, которые могут скользить по линейке и из которых одна перемещается посредством винта, соединенного с другой, позволяют легко изменять положение центра тяжести. Маятник заставляют колебаться попеременно около каждой из призм и, действуя ползушками, добиваются после ряда проб, чтобы периоды

колебаний в обоих случаях сделались одинаковыми. Длина синхронного маятника окажется при этом равной расстоянию между ребрами призм.

340. Наклонный маятник.

Если ось подвеса не горизонтальна, то маятник будет наклонным. Теория для этого случая не отличается от той, которая изложена выше. Движущей силой является постоянная проекция силы тяжести на плоскость, перпендикулярную к наклонной оси. Пусть а есть угол наклона оси подвеса к горизонтальной плоскости; проекция силы тяжести на плоскость, перпендикулярную к оси, равна . Поэтому все будет происходить так, как если бы маятник колебался вокруг горизонтальной оси, если только g будет заменено величиной . Пусть l есть длина синхронного (математического) маятника для колебаний тела вокруг той же оси, в предположении, что эта ось горизонтальна. Тогда половина периода весьма малых колебаний вокруг наклонной оси будет

Длина синхронного маятника с таким периодом будет а. Мы видим, таким образом, что период Т неограниченно возрастает, когда ось подвеса приближается к вертикали, и что в то же время неограниченно возрастает и длина l соответствующего синхронного маятника.