§ 4. УДАРЫ, ПРИЛОЖЕННЫЕ К ТВЕРДОМУ ТЕЛУ, ИМЕЮЩЕМУ НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ

357. Эффект ударов, приложенных к телу.

Предположим, что движение твердого тела, имеющего неподвижную точку О, отнесена к трем главным осям инерции относительно этой точки. Мгновенное движение тела есть вращение вокруг оси, проходящей через точку О, с угловой скоростью со, имеющей проекции ; проекции кинетического момента будут попрежнему

Предположим, что тело подвергается действию одновременных ударных импульсов. Пусть — суммы проекций этих импульсов на главные оси и результирующие моменты относительно тех же осей.

Обозначим через изменения величин , вызванные этими импульсами; тогда изменения главных моментов количеств движения относительно тех же осей будут Эти изменения определяются теоремой моментов (п° 311), на основании которой имеем:

Из этих уравнений непосредственно определяются т. е. изменение угловой скорости, вызванное ударами.

Если тело до удара находилось в покоэ, то изменения равны самим составляющим угловой скорости вращения, вызванного ударами, и мы будем иметь:

Это показывает, что направление угловой скорости , сообщенной ударами покоящемуся твердому телу, сопряжено относительно эллипсоида инерции с плоскостью, уравнение которой имеет вид:

т. е. с диаметральной плоскостью, перпендикулярной к главному моменту ударов.

358. Определение реакции неподвижной точки.

Реакция неподвижной точки определяется на основании теоремы количества движения (п° 309) или, что сводится к тому же, на основании теоремы движения центра инерции. Пусть М есть полная масса и — координаты центра тяжести. Проекции количества движения центра тяжести на оси равны:

Изменения этих количеств равны проекциям геометрической суммы прямо приложенных и реактивных импульсов. Пусть X, Y, Z будут проекции реактивных импульсов точки О; тогда будем иметь:

Так как получаются из уравнений (1), то последние уравнения определяют ударную реакцию .

Если твердое тело в начальный момент находилось в покое, то уравнения (3) должны быть заменены следующими:

где определяются формулами (2).

359. Условия отсутствия удара в неподвижной точке.

Как и в случае неподвижной оси, можно поставить вопрос, при каких условиях неподвижная точка не будет испытывать ударов. Для удобства предположим, что твердое тело подвергается ударам в состоянии покоя. Тогда, заменяя в уравнениях (4) их значениями из формул (2) и приравнивая нулю находим три условия того, чтобы точка О не испытывала ударов:

Из этих трех уравнений получаем

Таким образом, если удары, приложенные к твердому телу, не передаются на неподвижную точку, то плоскость, нормальная к главному вектору ударов и проведенная через эту точку, должна проходить через центр тяжести.

Можно, в частности, найти условие, при котором неподвижная точка О, находящаяся под действием одного удара Р, не испытывает ударной реакции. Проведём через О плоскость (я), нормальную к Р; прежде всего необходимо, как мы только что видели, чтобы эта плоскость проходила через центр тяжести. Если это имеет место, то пусть А будет точка пересечения удара Р с плоскостью и — мгновенная ось вращения, полученного телом после удара. Необходимо, чтобы Точка А была центром удара для оси , что приводит нас

к уже рассмотренной задаче (п° 342). Ось мгновенного вращения должна лежать в плоскости и быть главной осью инерции для одной из своих точек, например для точки О. Наконец, необходимо, чтобы точка А лежала на перпендикуляре, восставленном к оси из точки О со стороны центра тяжести, и чтобы ее расстояние от этой оси было равно длине синхронного (математического) маятника, соответствующего колебаниям тела вокруг оси ОО, в предположении, что эта ось горизонтальна.

360. Эффект, вызываемый внезапным закреплением оси в твердом теле.

Предположим, что на твердое тело, закрепленное в точке О и имеющее угловую скорость внезапно наложена новая связь посредством закрепления второй точки О тела. Обозначая через направляющие косинусы прямой ОО, определим сначала величину угловой скорости вокруг оси ОО, которую тело получает после удара.

Решение получается применением теоремы моментов относительно закрепленной оси . Момент ударов относительно этой оси равен нулю, поэтому главный момент количеств движения за время удара не изменяется. Пусть - момент инерции тела относительно оси . Момент количеств движения относительно той же оси после удара равен . До удара момент количеств движения представляет собой проекцию на направление кинетического момента Поэтому имеем уравнение

из которого и определяется

Обозначая чергз направляющие косинусы мгновенной оси вращения до удара, можно также написать уравнение (5) в. виде

Поэтому, если направления обеих осей представляют собой сопряженные направления относительно эллипсоида инерции, т. е. если новая ось лежит в плоскости, сопряженной с направлением первой оси, то и тело после удара мгновенно останавливается.

Уравнение (5) может быть также выведено из теоремы Карно. Живая сила, потерянная при ударе, равна

Живая сила потерянных скоростей равна живой силе, соответствующей угловой скорости проекции которой на оси равны она равна поэтому

Приравнивая это выражение предыдущему, в силу теоремы Карно, получим

Это соотношение приводится к формуле (5), если в нем заменить соответственно через

Реакции в точках О и . — Пусть — проекции ударной реакции в точке О; X, У, Z — проекции ударной реакции в точке О; наконец, -моменты относительно осей этой последней реакции. Эти реакции связаны между собой шестью уравнениями (1) и (3), где величины определяются на основании предыдущих заключений этого параграфа. Три последние из этих уравнений определяют соответственно суммы:

Покажем, что остальные три уравнения, т. е. уравнения (1), недостаточны для определения составляющих X, Y, Z в отдельности.

Пусть а есть расстояние и, следовательно, координаты точки О; тогда будем иметь:

уравнения (1) принимают вид:

Эти три уравнения приводятся к двум и недостаточны для полного определения , так как они не изменяются от прибавления к этим трем составляющим соответственно составляющих произвольного вектора Р, направленного по прямой ОО. Этот результат согласуется с тем, что мы видели в аналогичном случае п° 334.