§ 3. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ. РАВНОВЕСИЕ ЖИДКОСТИ, НАХОДЯЩЕЙСЯ В РАВНОМЕРНОМ ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ

468. Равновесие жидкости, находящейся во вращательном движении.

Рассмотрим определенную массу однородной жидкости, совершающую равномерное вращательное движение вокруг неподвижной оси и находящуюся под действием данных сил. Требуется найти условия равновесия жидкости по отношению к осям, совершающим то же вращательной движение.

Это задача об относительном равновесии. Она решается как задача абсолютного равновесия при условии, что к действительной силе X, V, Z добавляется сила инерции переносного движения. Эта последняя сила совпадает, как известно (п° 256), с центробежной силой, вызванной вращением жидкости.

Предположим, что внешняя сила X, Y, Z имеет силовую функцию U, так что

Если ось z направлена по оси вращения и угловая скорость есть , то параллельные осям составляющие центробежной силы, отнесенной к единице массы, будут:

Центробежная сила имеет, таким образом, силовую функцию

Полная силовая функция есть поэтому и уравнение равновесия (4) (п° 463) принимает вид:

Уравнение поверхностей уровня, будет

Если жидкость имеет свободную поверхность и если эта поверхность находится под постоянным давлением, то в предположении относительного равновесия она будет входить в семейство поверхностей уровня, выраженное написанным уравнением.

469. Свободная поверхность тяжелой жидкости, находящейся в относительном равновесии по отношению к вращающемуся сосуду.

В качестве приложения пргдыдущих формул рассмотрим тяжелую однородную жидкость, содержащуюся в сосуде и имеющую свободную поверхность. Пусть жидкость находится во вращательном движении с постоянной угловой скоростью (о вокруг вертикальной оси, которую мы будем предполагать осью симметрии сосуда, и пусть требуется определить форму свободной поверхности жидкости в случае относительного равновесия, т. е. когда форма этой свободной поверхности остается постоянной.

Если ось z направлена по вертикали вверх, то функция U внешней силы (силы тяжести) есть

Внося это значение в предыдущее уравнение поверхностей уровня, находим уравнение свободной поверхности:

где С есть постоянная.

Это есть уравнение параболоида вращения вокруг оси вращения; ось этого параболоида направлена вверх. Постоянная С зависит от объема жидкости, содержащейся в сосуде.

Рассмотрим, в частности, случай, когда сосуд цилиндрический, радиуса а, и вращение происходит вокруг оси сосуда.

Пусть V есть объем жидкости, h — высота, до которой жидкость поднимается в сосуде в состоянии покоя. Имеем . Пусть, далее, К есть высота, до которой жидкость поднимается в сосуде при ее вращательном движении. Объем

воды получим, если из объема цилиндра высотой h вычтем объем сегмента параболоида или объем цилиндра высотой

Сравнивая это выражение для V с предыдущим, получим

откуда

Уравнение свободной поверхности будет

Сечение параболоида плоскостью первоначального уровня жидкости z = h есть окружность (постоянная, какова бы ни была угловая скорость ), уравнение которой имеет вид