§ 3. РАВНОВЕСИЕ ПЛАВАЮЩЕГО ТЕЛА

480. Постановка задачи.

Мы определим условия равновесия плавающего тела в воде, предполагая, что жидкость находится в равновесии и уровень ее остается неизменным. При этом мы будем пренебрегать влиянием веса вытесненного воздуха (п° 466).

При этом предположении плавающее тело находится под действием только двух сил, вертикальных и прямо противоположных: его веса Р, приложенного в центре тяжести Г, и силы —Р, равной и противоположной весу вытесненной воды; эта последняя сила приложена в центре С вытесненного объема.

Для веса Р существует силовая функция; существует также силовая функция и для силы —Р, представляющей собой равнодействующую давлений жидкости (п° 467). Поэтому существует силовая функция и для совокупности этих двух сил, и положениями устойчивого равновесия будут те, при которых силовая функция принимает наибольшее значение. Мы найдем

эти положения, отыскивая те положения плавающего тела, для которых сумма работ сил Р и — Р будет отрицательна при всяком виртуальном перемещении этого тела.

481. Вычисление виртуальных работ.

Две вертикальные и противоположные силы приложенные к телу (п° 235), приводятся к результирующей силе , приложенной в центре тяжести, и к паре сил , приложенных соответственно в точках Г и С тела.

Работа силы зависит лишь от перемещения центра тяжести Г, а работа пары зависит от вращения тела вокруг этого центра.

Рассмотрим сначала перемещения, при которых ориентировка тела остается неизменной. Работа зависит тогда только от высоты, на которую опускается центр тяжести, и если он опускается на то элементарная работа будет

Эта работа положительна, если и отрицательна, если . Но постоянно возрастает, когда центр тяжести опускается. Поэтому работа будет наибольшей, когда т. е. когда тело вытесняет объем воды, вес которого равен весу тела.

Следовательно, при некоторой частной ориентировке тела это будет положение, при котором силовая функция имеет максимум.

Остается сравнить между собой различные положения тела, для которых и когда, следовательно, тело находится только под действием пары Для различных ориентировок плавающего тела эта пара такова, как если бы тело опиралось на неподвижную горизонтальную плоскость поверхностью центров. Силовая функция одинакова в обоих случаях и обращается в максимум при одной и той же ориентировке тела. Условия устойчивости будут поэтому одни и те же в обоих случаях. Центр тяжести должен быть на одной вертикали с центром вытесненного объема и находиться ниже соответствующего малого метацентра (п° 473). Условия, обеспечивающие устойчивость равновесия, можно поэтому окончательно сформулировать следующим образом.

482. Условия равновесия.

Для того чтобы плавающее тело находилось в равновесии и чтобы это равновесие было устойчивым, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1° Плавающее тело должно вытеснять объем воды, вес которого равен весу тела.

2° Центр тяжести тела и центр вытесненного объема должны лежать на одной вертикали.

3° Центр тяжести должен быть ниже малого метацентра, относящегося к точке С поверхности центров. Для этого необходимо и достаточно, чтобы центр тяжести был или ниже центра вытесненного объема или, если он находится выше, чтобы он был от этого центра на расстоянии, меньшем . Здесь через V обозначен погруженный объем и через — наименьший из двух главных моментов инерции площади плавания относительно ее центра тяжести (п° 479).

483. Замечания.

До сих пор для определенности мы предполагали, что жидкость есть вода, но ясно, что изложенная теория применима ко всякой другой капельной жидкости.

Она может быть применена в более общем случае к равновесию твердого тела, плавающего в двух слоях жидкости различных плотностей, из которых одна больше, а другая меньше плотности плавающего тела. Нужно только в предыдущих рассуждениях заменить центр вытесненного объема центром тяжести всей жидкой массы, вытесненной телом.

В случае, который мы рассматривали, этивди двумя жидкостями были вода и атмосферный воздух, но весом вытесненного воздуха мы пренебрегали. Чтобы исправить эту ошибку, нужно было бы заменить центр вытесненного объема центром тяжести всей массы вытесненной жидкости (воздуха и воды). Новая поверхность, описанная этим центром, отличалась бы очень мало от прежней, поверхности центров, место которой она должна была бы занять. Ошибка, которую мы сделали, настолько мала, что практически ею можно пренебречь.