§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ СПЛОШНЫХ ТЕЛ

329. Приведение сумм к тройным определенным интегралам.

В предыдущих параграфах мы рассуждали так, как если бы тела были составлены из конечного числа точек. Если имеют дело со сплошными телами, то их мысленно разлагают на бесконечно возрастающее число бесконечно малых элементов, которые отождествляют с материальными точками; над этими элементами выполняют далее переход к пределу, при котором

вместо суммирований производятся интегрирования, совершенно так же, как это делалось в теории центров тяжести. Пусть есть бесконечно малый элемент объема тела, плотности и массы Предполагается, что есть непрерывная функция координат , определяющих положение элемента Пусть далее есть расстояние элемента от оси инерции OR; момент инерции тела относительно оси OR есть предел суммы всех произведений распространенной на все элементы объема рассматриваемого тела. Поэтому имеем формулу:

где интегрирование распространяется на весь объем V тела.

Предыдущая формула применяется, в частности, к вычислению моментов инерции А, В, С относительно трех соответствующих осей координат. Имеем:

Эти интегрирования выполняются способами, излагаемыми в курсах анализа бесконечно малых. Соответствующие вычисления приводятся, вообще говоря, к вычислениям последовательных простых интегралов, причем выбор способа приведения зависит, в частности, от конфигурации объема V.

Если плотность постоянна, то множитель может быть вынесен за знак интеграла.

Если положить то элементы с массами будут заменены элементами самого объема V, и мы приходим, таким образом, к тому, что называют моментом инерции объема V.

330. Момент инерции сферы относительно диаметра.

Если дана сфера радиуса R, то, принимая центр сферы за полюс, удобно сначала определить полярный момент инерции Элементарный объем, заключенный между двумя концентрическими сферами радиусов равен а полярный момент инерции этого объема равен произведению на

Полярный момент инерции всей сферы есть сумма всех таких произведений, т. е.

Известно (п° 324), что есть полусумма трех равных между собой моментов инерции сферы относительно трех взаимно перпендикулярных диаметров. Следовательно, момент инерции сферы относительно диаметра равен — от т. е.

где V — объем сферы.

Соответствующий радиус инерции k определяется формулой:

331. Момент инерции плоской площадки относительно прямой, лежащей в плоскости площадки.

Предположим, что масса непрерывно распределена, согласно определенному закону, по плоской площади S, и определим момент инерции этой площади относительно прямой, лежащей в той же плоскости. Так как масса распределена только по двум измерениям, то элементы объема заменяются в этом случае элементами площади и тройной интеграл заменяется двойным. Таким образом, получаем

Интеграл распространяется на все элементы площади S. Обычно полагают плотность равной единице. Тогда получают, собственно говоря, момент инерции плоской поверхности

Найденные моменты инерции играют значительную роль в прикладной механике, при вычислении сопротивления балок изгибу, но для дальнейших частей этого курса они не представляют интереса.

Рассмотрим еще один простой пример, результат которого будет использован в следующем пункте.

Пусть требуется найти момент инерции круга радиуса R относительно его диаметра.

Этот круг, отнесенный к двум взаимно перпендикулярным диаметрам, определяется уравнением:

Пусть есть элемент площади круга; момент инерции относительно оси х или относительно оси у (что, очевидно, одно и то же по величине) равен:

где — радиус-вектор элемента и интеграл распространен на всю площадь круга. Сумма элементов заключенных между двумя концентрическими окружностями радиусов , есть поэтому будем иметь

332. Момент инерции тора.

Чтобы дать пример на вычисление моментов инерции, которые нам понадобятся в дальнейшем, определим моменты инерции тора относительно трех его главных осей инерции.

Рассмотрим (фиг. 42) тор, образованный вращением круга радиуса R вокруг оси Z, и обозначим через § расстояние центра круга от этой оси

Вычислим сначала момент инерции С объема тора относительно оси вращения.

Фиг. 42

Примем экваториальную плоскость за плоскость и поместим образующий круг в плоскость Пусть есть элемент площади круга, находящийся на расстоянии от оси. Этот элемент образует объем момент инерции которого равен суммируя все такие моменты, получим

где интеграл распространен на площадь образующего круга.

Заменим на соответствует переносу оси z на параллельный ей диаметр образующего круга. Тогда элементы попарно будут иметь абсциссы равные по величине и противоположные по знаку. В результате этой подстановки получим

Это выражение можно представить в виде суммы интегралов. Интегралы, в которых входит в нечетной степени, равны нулю, так как их элементы попарно уничтожаются; остается поэтому

Но интеграл от равен а в предыдущем пункте было доказано, что интеграл от равен — Таким образом, получаем

Заметим, что на основании теоремы Гюльдена произведения представляют собой объем V тора; окончательно имеем

Вычислим теперь моменты инерции объема тора относительно осей х и у (обе оси лежат в экваториальной плоскости). Эти моменты, очевидно, равны между собой вследствие

симметрии. Обозначая через элемент объема, будем иметь.

Отсюда получаем:

Таким образом, все сводится к вычислению интеграла

распространенного на объем тора. Сумма элементарных объемов образованных вращением элемента площади с абсциссой равна . Интеграл, распространенный по объему, приводится, таким образом, к интегралу по поверхности

распространенному на площадь образующего круга. Заменой на (что соответствует переносу оси z на параллельный ей диаметр образующего круга) последний интеграл приводится, как в предыдущем случае, к виду:

Окончательно получаем

Моменты А и С, вычисленные таким способом, представляют собой моменты инерции объема тора. Если тор однородный и имеет плотность , то при вычислении его моментов инерции придется умножать элементы объема на эту плотность. Это сведется к умножению полного объема на р, т. е. к замене объема V массой М тора. Таким образом, получаем: