ДОБАВЛЕНИЯ. I. О ПРИНЦИПЕ НАИМЕНЬШЕГО ПРИНУЖДЕНИЯ

Принцип Гамильтона и принцип наименьшего действия приводят, как мы знаем, составление уравнений движения динамической задачи при некоторых условиях к отысканию минимума определенного интеграла. Однако это приведение к минимуму в общем случае не имеет места.

Гаусс сформулировал замечательную теорему, сводящую определение движения к задаче отыскания минимума, но минимума конечного выражения. Этот принцип применим во всех случаях, когда имеют место связи без трения, и имеет, следовательно, такую же общность, как принцип Даламбера или общее уравнение динамики, к которому он приводит, как мы это увидим. Он получил название принципа наименьшего принуждения. Вот его формулировка:

Если материальная система, подчиненная связям без трения, движется под действием заданных движущих сил, то ускорения различных ее точек определяются в каждый момент условием, что связи оказывают наименьшее возможное принуждение. В качестве меры принуждения в каждый момент t принимают сумму произведений массы каждой точки на квадрат величины А, представляющей собой удаление точки в момент от того положения, которого она достигла бы в топуже момент под действием только движущей силы, если внезапно была освобождена от связей в момент t, причем скорости всех точек в этот момент остались бы те же самые.

Докажем эту теорему. В приведенной формулировке положение и скорость точки М в момент t предполагаются данными, но ускорение может быть сообщено точке произвольно, лишь бы получающееся в результате

тате движение было совместимо с наложенными связями. Точка, получившая такое ускорение, займет в момент положение, координаты которого (с точностью до малых второго порядка включительно) будут:

С другой стороны, в случае (несовместимом со связями), когда точка, предполагаемая свободной, находилась бы под действием исключительно движущей силы (X, Y, Z), проекции ее ускорения были бы и потому координаты ее положения в момент были бы

Разности между координатами точки в двух указанных положениях будут:

и квадрат расстояния между этими двумя положениями будет:

Принуждение, определяемое выбором ускорений различных точек системы, выражается, таким образом, конечной квадратичной формой

Чтобы получить минимум принуждения, нужно выбрать ускорения таким образом, чтобы обратить в нуль полный дифференциал этой квадратичной формы, т. е. чтобы удовлетворить уравнению

и притом для всех вариаций при которых движение будет совместимо со связями.

Чтобы доказать принцип Гаусса во всей его общности, достаточно установить, что при этом условии уравнение (1)

эквивалентно общему уравнению динамики. Для этого нужно сначала уточнить форму уравнений связей.

В самом общем случае связи не голономны и зависят от времени. Элементарные перемещения произвольной точки системы, совместимые со связями, предполагаются связанными с временем t и с обобщенными координатами линейными однородными соотношениями вида

где коэффициенты a, b, с суть данные функции переменных

Виртуальные перемещения совместимые со связями, каковыми они являются в момент, t, получаются из этих соотношений при постоянном t. Они выражаются формулами

где произвольны при всяком положении системы.

Разделив формулы (2) на получим для момента t выражения величин х, у, z, совместимые со связями,

в этих формулах величины q произвольны для любого момента t, если его принять за начальный.

Продифференцируем эти соотношения по времени и напишем лишь члены, содержащие Мы получим попрежнему для момента t выражения величин совместимые со связями,

где представляют собой новые произвольные постоянные для момента

В задаче, которой мы занимаемся, значение t и значения величин q и q даны, величины же могут принимать все значения, зависящие от произвольного выбора Допустимые вариации величин зависят, следовательно, только от произвольных вариаций величин q" и выражаются формулами

(4)

Формулы (4), за исключением штрихов, совпадают с формулами (3).

Так как вариации вполне произвольны, как и вариации в формулах (3), то оказывается, что подчинены тем же условиям, как и величины в формулах (3). Поэтому в уравнении (1) можно заменить систему вариаций системой вариаций совместимых со связями, каковыми они являются в момент t: мы получаем при этом общее уравнение динамики. Принцип Гаусса, таким образом, доказан.

Замечание. - Условие минимума, входящее в фэрмули» ровку принципа наименьшего принуждения, осуществляется без каких-либо ограничений, так как речь идет о минимуме положительной квадратичной формы, что не вызывает дальнейшего исследования. Этого нельзя сказать о принципе Гамильтона и принципе наименьшего действия.