ГЛАВА XX. ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

408. Определение движения.

Пусть требуется определить движение свободного твердого тела относительно неподвижной системы осей. Проведем через центр тяжести Г тела систему осей , остающихся все время параллельными неподвижным осям. Движение подвижных осей будет известно, если мы определим движение центра тяжести Г. Движение твердого тела по отношению к подвижной системе отсчета будет тогда движением тела около неподвижной точки. Если мы сможем определить это движение, то задача будет решена.

Центр тяжести Г движется так, как если бы вся масса М тела была сосредоточена в этой точке и все внешние силы были перенесены в нее параллельно самим себе. Для определения этого движения нужно, следовательно, применить уравнения движения свободной точки.

Чтобы определить относительное движение тела около его центра тяжести или по отношению к системе , припомним, что теорема моментов имеет место в относительном движении около центра тяжести в том случае, когда моменты количеств движения и моменты сил берутся относительно центра тяжести или, иначе, относительно осей , проходящих через центр тяжести. Отсюда имеем следующую теорему, которая расчленяет предложенную задачу на две другие, уже рассмотренные:

Если свободное твердое тело движется под действием данных сил, то сначала определяют движете центра тяжести как движениг свободной точки, предполагая, что в ней сосредоточена вся масса и в нее перенесены параллельно самим себе все внешние силы. Затем определяют движение тела около его центра тяжести, рассматривая эту точку как неподвижную и применяя теорию движения твердого тела около неподвижной точки без всяких изменений в отношении приложенных к телу сил.

Пусть М есть масса тела, координаты его центр тяжести Г и X, Y, Z — суммы проекций внешних сил, приложенных к телу. Уравнения, определяющие движение центра тяжестиа будут:

С другой стороны, пусть будут А, В, С - моменты инерции твердого тела относительно прямоугольных осей , связанных с телом и представляющих собой главные оси инерции относительно центра тяжести. Пусть далее —проекции на эти оси мгновенного вращения тела вокруг центра тяжести и — главные моменты прямо приложенных сил относительно тех же осей. Для определения движения твердого тела около его центра тяжести применим три уравнения Эйлера:

В этих уравнениях величины можно заменить известными выражениями их в функциях углов Эйлера и их производных Правые части X, Y, Z и уравнений (1) и (2) выражаются в общем случае в функциях тех же углов, координат центра тяжести и производных по времени от этих шести величин. Таким образом, уравнения (1) и (2) представляют собой систему шести дифференциальных уравнений второго порядка, позволяющих найти шесть неизвестных в функции от времени и этим определить движение.

Задача сильно упрощается, если уравнения (1) могут быть проинтегрированы отдельно. Это имеет место в том случае, когда внешние силы зависят только от времени, от положения центра тяжести и от его скорости. Однако в общем случае дело обстоит иначе: внешние силы могут зависеть еще и от ориентации тела по отношению к центру тяжести, т. е. от эйлеровых углов .

409. Возвращение к статике. Эквивалентность и приведение систем сил, приложенных к твердому телу.

Предыдущая теорема весьма замечательна. Она оправдывает все те

положения, изложенные в статике, которые относятся к эквивалентности и к приведению систем сил, приложенных к твердому телу.

Действительно, эта теорема утверждает, что движение центра тяжести тела вполне определяется главным вектором внешних сил, перенесенных в эту точку, и что движение тела около центра тяжести определяется главным моментом внешних сил относительно той же точки.

Отсюда следует, что в каждый момент можно, ничего не меняя в движении твердого тела, заменить систему внешних сил, приложенных к телу, всякой другой системой сил, имеющей тот же главный вектор и тот же главный момент, т. е. всякой другой системой сил, эквивалентной первой.

В частности, систему внешних сил можно привести к одной силе, приложенной в центре тяжести, и к одной паре. Движение центра тяжести определяется этой силой, а движение тела около центра тяжести определяется парой сил.

В статике принцип эквивалентности сил был выведен из постулата, утверждающего возможность присоединения или отбрасывания двух равных и прямо противоположных сил, приложенных в двух точках тела (п° 187). Этот постулат является лишь весьма простым частным случаем общего принципа. Он доказан здесь, но при условиях, очевидно, более сложных и более тонких, чем те, которые были введены в статике. Здесь мы предполагаем, что твердое тело разложено на отдельные материальные точки, к которым приложима теорйя движения материальной точки, что точки эти находятся на неизменных расстояниях друг от друга и что система внутренних сил эквивалентна нулю.