§ 2. ТЕОРЕМА МОМЕНТОВ И ТЕОРЕМА ПЛОЩАДЕЙ

276. Первая формулировка теоремы моментов количеств движения.

Возвратимся к уравнениям (1). Умножая первое из них на , второе на и складывая почленно, получим

Левая часть может быть написана в виде

поэтому будем иметь

Если сложить все аналогичные уравнения для всех точек системы, то получим

В самом деле, двойная сумма представляет собой сумму моментов всех внутренних сил относительно оси z и равна нулю, так как эти силы попарно равны и противоположны

тивоположны, а следовательно, и их моменты попарно равны и противоположны по знаку.

В предыдущем уравнении левая часть представляет собой производную по времени от суммы моментов количеств движения относительно оси z, а правая — сумму моментов внешних сил относительно той же оси. При этом за ось z может быть принята любая ось. Таким образом, получаем следующую теорему:

Производная по времени от суммы моментов количеств движения всех точек системы относительно какой-нибудь неподвижной оси равна сумме моментов всех внешних сил относительно той же оси.

277. Кинетический момент системы. Вторая формулировка теоремы моментов.

Предыдущая теорема допускает кинематическое выражение, аналогичное тому, которое было дано теореме количества движения.

Возьмем в качестве полюса точку О и построим результирующий момент (ОК) количеств движения точек системы относительно центра О. Вектор (ОК) называют главным моментом количеств движения или кинетическим моментом системы относительно точки О.

Мы можем теперь дать теореме моментов другую формулировку:

Если для каждого момента времени построим относительно неподвижного центра О результирующий момент (OG) внешних сил и кинетический момент (ОК) системы, то точка G будет представлять собой индекс точки К; иначе говоря, вектор (OG) в каждый момент будет геометрически равен скорости точки К.

В самом деле, примем за полюс начало координат О и построим векторы (OG) и (ОК). Пусть будут координаты точки К, они представляют собой проекции вектора (ОК) на оси Oxyz, или, иначе говоря, результирующие моменты количеств движения относительно каждой из этих осей. Пусть далее — проекции вектора (OG), которые в то же время равны результирующим моментам внешних сил относительно каждой из осей Oxyz. Применяя теорему моментов относительно каждой из этих осей, получим

Левые части этих равенств представляют собой проекции скорости точки К на оси, что и доказывает теорему.

Если ввести геометрическую производную вектора (ОК) или К, то три предыдущих уравнения можно заменить одним векторным равенством

Это равенство представляет собой геометрическое выражение теоремы моментов, так как левая часть есть скорость точки К (для которой К является радиусом-вектором).

278. Теорема площадей.

Эта теорема предполагает, что результирующий момент внешних сил относительно некоторой неподвижной оси постоянно равен нулю.

Примем неподвижную ось за ось z; теорема моментов, примененная к этой оси, дает

откуда, обозначая через С произвольную постоянную, получим

Теорема площадей представляет собой геометрическую интерпретацию этого уравнения. Заметим, что

Соединим начало координат с различными точками М системы и спроектируем радиусы-векторы ОМ на плоскость ху (перпендикулярную к оси Oz). Как мы видели в динамике точки (п° 120), выражение

представляет собой удвоенную производную площади о, описываемой проекцией радиуса-вектора ОМ на плоскость ху и отсчитываемой от начального положения проекции. Эта площадь считается положительной, если проекция радиуса-вектора вращается в прямом направлении вокруг оси Oz, и отрицательной

при вращении в обратном направлении. Пусть площади, описанные соответственно проекциями радиусов , тогда

Следовательно, рассматриваемое уравнение может быть написано в виде

Интегрируя это уравнение и замечая, что площади S, отсчитываемые от начального положения соответствующей проекции, обращаются в нуль вместе с t, получим

Постоянная С называется постоянной площадей.

Отсюда имеем теорему площадей:

Если результирующий момент внешних сил относительно какой-нибудь неподвижной оси постоянно равен нулю и если из полюса, взятого на этой оси, провести радиусы-векторы к каждой точке системы, то сумма площадей, описываемых проекциями этих радиусов-векторов на неподвижную плоскость, перпендикулярную к оси, умноженных на массы соответствующих точек, изменяется пропорционально времени.

279. Случай, когда результирующий момент внешних сил относительно некоторой точки постоянно равен нулю. Плоскость максимума площадей.

Пусть результирующий момент внешних сил относительно некоторой неподвижной точки постоянно равен нулю. Принимая эту точку за начало координат, можем написать:

Применяя теорему моментов п° 276 к каждой из трех осей координат, получим

отсюда, интегрируя и обозначая постоянные через А, В, С, будем иметь

Эти равенства выражают следующую теорему:

Если результирующий момент внешних сил относительно некоторой неподвижной точки постоянно равен нулю, то кинетический момент относительно той же точки остается постоянным по величине и направлению во все время движения.

В этом случае результирующий момент внешних сил относительно любой оси, проходящей через неподвижную точку О, равен нулю; поэтому теорема площадей применима к проекции движения на любую неподвижную плоскость. Примем произвольную плоскость за плоскость и так как постоянная С равна , то в проекциях на эту плоскость будем иметь

Постоянная площадей С есть проекция кинетического момента (ОК) на нормаль Oz к плоскости проекций Отсюда следует, что среди всех плоскостей, проходящих через точку О, плоскость, для которой постоянная площадей имеет наибольшее значение, перпендикулярна к вектору кинетического момента (ОК), не изменяющегося ни по величине, ни по направлению. Эту плоскость называют плоскостью максимума площадей, так как для этой именно плоскости сумма площадей, описанных начиная с некоторого начального момента, имеет наибольшее абсолютное значение.

Легко также заметить, что постоянная площадей равна нулю для всякой неподвижной плоскости, проходящей через вектор кинетического момента (ОК).

Из изложенного видно, что при движении любой материальной системы внутренние силы, как бы велики они ни были и как бы они ни изменялись, не оказывают никакого влияния на величину и направление кинетического момента системы. Одни лишь внешние силы могут заставить изменяться кинетический момент, и то лишь при условии, что их результирующий момент не равен нулю. Дадим несколько примеров, где это замечание находит приложение.

При движении снаряда внешними силами являются силы тяжести, если пренебречь сопротивлением воздуха. Сумма моментов "этих сил относительно любой вертикали равна нулю, и, следовательно, сумма площадей, описываемых проекциями радиусов-векторов на горизонтальную плоскость, изменяется пропорционально времени, какова, бы ни была точка этой плоскости, взятая за полюс. Когда происходит разрыв снаряда, то силы, действующие в этот момент, представляют собой лишь внутренние силы, и потому взрыв не изменяет значения постоянного отношения между площадями, описываемыми проекциями радиусов-векторов частиц, и временем.

Подобные же заключения могут быть применены и к живым существам. Так, силы, возникающие в теле человека по его воле и позволяющие ему двигать своими членами, являются по отношению ко всему телу лишь внутренними силами, действиями и противодействиями, всегда равными между собой и противоположно направленными. Предположим, например, что человек стоит на совершенно гладком льду. Внешние силы приводятся к весу и вертикальной реакции льда, и потому их момент относительно любой вертикали равен нулю. Сумма площадей, описываемых проекциями радиусов-векторов на горизонтальную плоскость, изменяется пропорционально времени (если она изменяется), и никакие усилия человека не могут оказать влияния в этом отношении. Если человек сначала был в состоянии покоя, то, что бы он ни делал, сумма площадей, описываемых проекциями радиусов-векторов, всегда останется равной нулю. Не следует, однако, забывать, что площади, описываемые в одном направлении, положительны, а описываемые в противоположном направлении отрицательны. Поэтому человек может описывать одной частью своего тела положительные площади, при условии, что другая часть будет описывать отрицательные площади, так чтобы оба движения в точности компенсировали друг друга. Он может в результате комбинированных движений оказаться в таком конечном положении, которое геометрически получается из начального положения вращением всего тела, хотя само такое вращение тела как одного целого и невозможно.

Предположим, например, что человек вытягивает руки в стороны и описывает ими угол в положительном направлении вокруг вертикали; этим он заставит свое тело выполнить

компенсирующее вращение в обратном направлении. Если после этого он опустит руки, приведя их в начальное положение, то все его тело окажется повернутым на определенный угол в отрицательном направлении. Повторяя такие движения, человек может поворачивать свое тело неопределенное число раз в одном и том же направлении.