§ 2. ПРИМЕРЫ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН, КОТОРЫЕ ВЫРАЖАЮТСЯ ЧЕРЕЗ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ИЛИ ЧЕРЕЗ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ИНЕРЦИИ

325. Живая сила вращающегося твердого тела.

Предположим, что твердое тело обладает в некоторый момент вращательным движением (которое может быть только мгновенным) вокруг оси OR с угловой скоростью , и пусть требуется найти его живую силу в этот момент.

Пусть v есть скорость точки массы , находящейся на расстоянии от оси OR; имеем Поэтому живая сила тела будет

где есть момент инерции тела относительно оси OR. Таким образом, живая сила твердого тела во вращательном движении

его вокруг оси равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости.

326. Главный момент количеств движения вращающегося твердого тела относительно оси вращения.

Предположим опять, что твердое тело вращаетсй вокруг оси OR с угловой скоростью . Примем OR за ось искомый момент выражается в виде суммы

так как , то этот момент может быть написан в виде

Следовательно, при вращении твердого тела вокруг оси главный момент количеств движения относительно этой оси равен произведению угловой скорости на момент инерции тела относительно той же оси.

327. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно точки, лежащей на оси вращения.

Предположим, что твердое тело вращается с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через точку О, и пусть требуется определить кинетический момент тела относительно этой точки. Проведем через О три прямоугольные оси координат и обозначим через проекции мгновенной угловой скорости о на эти оси. Вычислим сначала главный момент количеств движения относительно оси Oz, представляющий собой проекцию на эту ось кинетического момента К относительно точки О. Как известно, имеем

Подставляя в это выражение известные значения

получим:

Этот момент зависит, таким образом, от момента инерции относительно оси Oz и от центробежных моментов инерции тела относительно осей Ох и Оу. Его выражение упрощается, если Oz есть главная ось инерции для точки О, так как оба центробежных момента инерции обращаются в этом случае в нуль и остается

где С — главный момент инерции тела относительно оси Oz.

Если главные моменты инерции относительно трех главных осей равны соответственно А, В, С, то таким же способом мы докажем, что

Таким образом, если твердое тело вращается вокруг оси, проходящей через точку О, с угловой скоростью, проекции которой равны и если построить кинетический момент К относительно этой точки, то проекции вектора К на три главные оси инерции для центра О равны , где А, В, С представляют собой три соответствующих главных момента - инерции.

328. Приведение центробежных сил всех точек вращающегося твердого тела.

Рассмотрим твердое тело, отнесенное к трем прямоугольным осям Oxyz и вращающееся вокруг оси Oz с угловой скоростью со. Центробежная сила точки М, находящейся на расстоянии от оси, равна и направлена по радиусу , так что проекции этой силы на оси координат будут:

Пусть М есть полная масса — координаты центра тяжести тела. Суммы проекций центробежных сил на оси равны соответственно:

Следовательно, при вращении твердого тела вокруг оса геометрическая сумма центробежных сил всех точек равна центробежной силе центра тяжести, в предположении, что в нем сосредоточена вся масса М тела. Эта сумма обращается в нуль лишь в том случае, когда центр тяжести лежит на оси вращения.

Определим теперь главные моменты центробежных сил относительно трех осей Oxyz. Без труда находим, что эти моменты равны соответственно:

Эти главные моменты зависят, таким образом, от центробежных моментов инерции тела относительно осей координат Ох и Оу. Если ось z есть главная ось инерции для центра О, то эти два центробежных момента инерции равны нулю и главные моменты центробежных сил относительно трех осей обращаются в нуль. Таким образом, центробежные силы имеют равнодействующую, проходящую через точку О. Отсюда получаем следующую теорему:

Если твердое тело вращается вокруг главной оси инерции, относящейся к точке О, то центробежные силы имеют равнодействующую, проходящую через точку О и геометрически равную центробежной силе центра тяжести, в предположении, что в нем сосредоточена вся масса М тела.

Если ось вращения проходит через центр тяжести, эта равнодействующая равна нулю. Таким образом, когда твердое тело вращается вокруг главной оси инерции, проходящей через центр тяжести (ось центрального эллипсоида инерции), то центробежные силы образуют систему сил, находящуюся в равновесии.

Эти свойства объясняют, почему главные оси инерции являются постоянными осями вращения твердого тела; мы возвратимся к этому далее (п° 335).