ГЛАВА XXV. ДИНАМИКА ЖИДКОСТЕЙ

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

484. Методы Лагранжа и Эйлера.

В задачах о движении жидкостей могут применяться два различных метода:

Метод Лагранжа заключается в том, что определяют движение каждой отдельной частицы жидкости. В этом случае положение (х, у, z) частицы жидкости нужно определить в функции от времени от начального положения (а, b, с) частицы. Четыре независимые переменные суть а, b, с и

Метод Эйлера заключается в определении состояния жидкости в какой-нибудь точке в произвольный момент времени. Состояние жидкости в точке (х, у, z) характеризуется значениями пяти функций в этой точке: трех составляющих u, v, w скорости, давления и плотности , рассматриваемых в этом случае как функции четырех независимых переменных

Если задача решена в переменных Эйлера, то решение задачи в переменных Лагранжа приводится к интегрированию трех совместных обыкновенных дифференциальных уравнений. Действительно, по предположению, переменные u, v, w известны в функции от х, у, z, t. Следовательно, траектория частицы, координаты которой у, z зависят от времени и имеют начальные значения а, b, с, может быть найдена интегрированием системы обыкновенных дифференциальных уравнений

485. Уравнение непрерывности.

Уравнение непрерывности выражает то обстоятельство, что масса жидкости остается во время движения неизменной. Это уравнение принимает различные формы в переменных Лагранжа и в переменных Эйлера. Мы сначала применим метод Лагранжа.

Пусть 9. есть объем, занимаемый некоторой массой жидкости, находящейся в движении, в момент — объем,

занимаемый той же массой жидкости в момент Равенство масс жидкости в моменты t и выражается соотношением

где , a, b, с — начальные значения величин

Первый интеграл преобразуется в интеграл, распространенный на объем если принять за переменные интеграции а, b, с вместо переменных х, у, z. Определитель преобразования есть

Преобразованный интеграл будет

откуда имеем соотношение

Так как это соотношение имеет место при любом значении , то заключаем, что всюду в жидкости должно быть Это равенство может быть написано в виде:

и представляет собой уравнение непрерывности в переменных Лагранжа.

Уравнение (1) показывает, что определитель D никогда не обращается в нуль и всегда положителен. Если жидкость несжимаемая, то D = 1.

Продифференцируем предыдущее уравнение по времени (рассматривая х, у, z как функции от t) и напишем результат в виде

Это уравнение непрерывности в форме, соответствующей методу Эйлера. Дифференциал представляет собой сумму трех определителей, которые получим, заменяя соответственно

в D переменные их дифференциалами . Получим

Разделим на D и (пользуясь свойствами функциональных определителей) примем во внимание соотношения:

Уравнение непрерывности в дифференциальной форме, выраженное в переменных Эйлера, примет после этого вид:

где есть полный дифференциал от по времени.

Если жидкость несжимаема, то постоянно, и уравнение непрерывности приводится к виду:

это соотношение выражает то обстоятельство, что частицы жидкости не изменяют своего объема.

486. Другое доказательство.

Уравнение непрерывности в дифференциальной форме (2) может быть интерпретировано несколько иным способом. Пусть dx, dy, dz будут ребра неподвижного параллелепипеда, параллельные осям, и пусть центр параллелепипеда совпадает с точкой в ее положении в момент t. Пусть есть определенный таким образом элемент объема. Уравнение непрерывности показывает, что приращение массы жидкости, содержащейся в параллелепипеде за промежуток времени равно сумме масс жидкости, проникающих в этот параллелепипед через шесть его ребер за тот же промежуток

Проведем через точку М сечение объема , нормальное к оси так как количество изменяется линейно в этом бесконечно малом сечении, то оно принимает свое среднее значение в центре сечения М. Масса жидкости, проходящей через сечение за время (в положительную сторону), равна, следовательно,

Масса жидкости, проникающей в объем через обе грани, нормальные к Ох, есть разность значений предыдущего выражения для абсцисс она равна частному дифференциалу

Масса жидкости, проникающей одновременно через шесть граней, будет поэтому

Средняя плотность жидкости в элементе равна плотности в центре М (так как изменяется в линейно). Поэтому приращение массы элемента определяется приращением плотности в определенной точке М и равно

Приравнивая это выражение предыдущему, получаем уравнение непрерывности в виде

Чтобы показать тождественность этого уравнения с уравнением (2), достаточно заметить, что

487. Дифференциальные уравнения движения. Основные гипотезы.

Уравнения движения, на основании принципа Даламбера, приводятся к уравнениям равновесия при условии, что к движущей силе X, Y, Z (отнесенной к единице массы) добавлена сила инерции (тоже отнесенная к единице массы). Дополним на основании этого принципа уравнения равновесия (1) п°461. Тогда получим уравнения движения:

Если мы хотим написать эти уравнения в переменных Эйлера, то нужно выразить составляющие ускорения в функции от u, v, w и их производных. Имеем

и две другие аналогичные формулы. Подставляя эти выражения в уравнения движения, получим уравнения Эйлера:

Мы не будем пользоваться уравнениями Эйлера в этом общем виде. Чтобы можно было практически применять уравнения гидродинамики, мы вынуждены принять некоторые гипотезы.

1°. Движущая сила X, Y, Z имеет силовую функцию, которая может содержать и время, так что

Силовая функция большей частью бывает однозначна, но в исключительных случаях она может быть и многозначной.

2°. Плотность зависит лишь от давления. Это условие осуществляется для капельных жидкостей, плотность которых постоянна. Но для газов это является значительным ограничением, так как плотность газов связана с давлением и температурой соотношением (характеристическим уравнением), которое мы рассмотрим в следующем пункте.

На основании этой гипотезы есть полный дифференциал, поэтому можно положить

где Р зависит только от давления. Отсюда имеем:

Указанные гипотезы позволяют представить уравнение движения в практически пригодной форме:

где есть функция от х, у, z, t. Эти уравнения показывают, что поле векторов ускорений имеет функцию векторов которая в общем случае может содержать время.

Они могут быть написаны также в виде

Если (как мы предполагаем) плотность связана с давлением известным соотношением, то, с точки зрения Эйлера, имеются лишь четыре неизвестные функции , которые должны быть определены как функции от х, у, z и t. Три уравнения движения в соединении с уравнением непрерывности образуют систему четырех совместных уравнений с частными производными, которые позволяют теоретически решись задачу.

488. Характеристическое уравнение жидкости.

В общем случае для жидкости не существует зависимости только между плотностью и давлением. Эти две величины связаны также с температурой 0 соотношением

которое называют характеристическим уравнением жидкости. Применение характеристического уравнения в общем случае основывается на принципах термодинамики.

Мы укажем здесь три важных частных случая, когда плотность зависит лишь от давления и когда можно решить задачу без участия термодинамики:

1° Капельная жидкость при постоянной температуре. В этом случае, самом простом из всех, плотность постоянна.

2° Газ при постоянной температуре (изотермическое изменение). В этом случае температура постоянна; так как постоянная, то характеристическое уравнение

дает искомое соотношение между плотностью и давлением:

3°. Адиабатическое изменение газа. Если допустить, что сжатия и расширения частиц совершаются достаточно быстро для того, чтобы между ними не могло быть обмена тепла, то изменение будет адиабатическим и соотношение между будет иметь вид:

Показатель адиабаты у есть отношение удельных теплоемкостей газа при постоянном давлении и при постоянном объеме соответственно.