§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

438. Преимущество канонических уравнений.

Канонические уравнения Гамильтона благодаря их особенной форме получили большое применение в механике. Это легко понять, если иметь в виду метод Якоби интегрирования уравнений с частными производными первого порядка. Действительно, канонические уравнения механики, которые могут быть написаны в следующей форме:

представляют собой дифференциальные уравнения характеристик уравнения с частными производными первого порядка

в котором V есть неизвестная функция k 1 переменных q и t. Буквы обозначают здесь частные производные неизвестной функции V относительно независимых переменных q, т. е.

Якоби показал, что полное интегрирование системы (1) и интегрирование уравнения (2) представляют собой совершенно эквивалентные задачи. Обе эти задачи приводятся к определению полного интеграла уравнения (2), т. е. к определению интеграла, зависящего от k произвольных, неаддитивных и независимых между собой постоянных.

Но отыскание полного интеграла методом Якоби требует со своей стороны выполнения k последовательных интегрирований, вводящих каждый раз произвольную постоянную, и, кроме того, еще одной квадратуры. После этого интегралов движения получаются уже без новых интегрирований. Можно сказать поэтому, что благодаря такому использованию полного интеграла трудность интегрирования уравнений механики уменьшается наполовину.

Метод Якоби опирается на свойства некоторых выражений, известных под названием скобок Пуассона, и на некоторые общие предложения, относящиеся к системам уравнений с частными производными. Но канонические уравнения механики, в которых переменная t играет особую роль, не симметричны относительно всех переменных. Поэтому основы метода удобнее изучить сначала на симметричных выражениях, чтобы применить их потом к каноническим уравнениям. Это именно мы и сделаем в следующих пунктах.

439. Скобки Пуассона.

Пусть — две вполне определенные функции независимых переменных Обозначим через и назовем скобкой Пуассона выражение

Скобки Пуассона обладают некоторыми непосредственно очевидными свойствами. Так, имеем:

и если v приводится к постоянной , то

440. Основное тождество Якоби — Пуассона.

Пусть u, v, w — три функции переменных Относительно этих функций справедливо следующее основное тождество-.

доказательство которого здесь приводится.

Каждый член левой части есть произведение производной второго порядка на две производные первого порядка. Достаточно поэтому показать, что левая часть не содержит вторых производных, например, что она не содержит вторых производных от w. Эти производные могут получиться лишь в двух первых скобках, они содержатся поэтому в сумме

или, что то же самое, в разности

Прямым подсчетом убеждаемся, что одинаковые вторые производные от w имеют те же самые коэффициенты в каждой из двух скобок и потому сокращаются.

441. Доказательство основной формулы.

Пусть, как и выше, u и v — две определенные функции переменных Предположим, что переменныер будут функциями переменных q и удовлетворяют двум соотношениям (которые, в частности, могут быть одинаковыми):

где а и b — постоянные (данные или произвольные). При таких предположениях мы будем иметь следующую основную формулу:

Чтобы вывести эту формулу, продифференцируем частным образом соотношение по переменной рассматривая переменные как функции от q; получим

Умножим это уравнение на и просуммируем по , получим

Вычтем полученное соотношение из того, которое из него выводится перестановкой функций u, v и индексов в результате мы получим формулу, которую нужно было доказать.

442. Теорема.

Если имеются два совместных уравнения с частными производными

где суть частные производные по независимым переменным функции z от этих переменных, неизвестной и не входящей в уравнения, и если эти два уравнения допускают общий интеграл, то этот интеграл будет также интегралом уравнения

Эта теорема является следствием основной формулы, выведенной в предыдущем пункте. Действительно, в данном случае для всех комбинаций индексов имеем

так как оба члена левой части представляют одну и ту же производную второго порядка от z. Следовательно, основная формула приводится к виду

443. Полные системы.

Пусть попрежнему будут частные производные по независимым переменным функции z от этих переменных. Рассмотрим систему h совместных уравнений с частными производными, не содержащих

где количества а постоянные (данные или произвольные). Предполагается, что эти уравнения алгебраически различны и что они не устанавливают между q никакого соотношения, не зависящего от (в противном случае сами переменные q не были бы независимы между собой). Следует поэтому предполагать, что так как иначе можно было бы исключить из уравнений системы (что дало бы одно или несколько соотношений между одними ).

На основании предыдущей теоремы всякий интеграл рассматриваемой системы есть в то же время интеграл уравнений

Если все эти новые соотношения удовлетворяются тождественно или в силу уравнений данной системы, то говорят, что эта система представляет собой полную систему.

Если соотношения удовлетворяются тождественно, то данную систему называют якобиевой системой. Полная система есть необходимо якобиева система, если все постоянные и произвольны и различны. Скобки не содержат этих постоянных, и поэтому обращение их в нуль не могло бы быть следствием уравнений содержащих эти произвольные постоянные.

444. Преобразование полных систем.

Рассмотрим полную систему уравнений между переменными

Предположим, что первое уравнение разрешимо относительно для чего производная — должна быть отлична от нуля. Решение уравнения даст

Можно утверждать, что система

алгебраически эквивалентная предыдущей, попрежнему будет полной.

Действительно, по определению, имеем

Умножим это соотношение на и исключим частные производные функции в правой части по формулам дифференцирования неявных функций

где предполагается отличным от Непосредственным вычислением получим

Таким образом, умноженное на множитель, не равный нулю по предположению, обращается в нуль вместе с что и доказывает теорему.

Рассмотрим, далре, полную систему

Пусть есть функция, полученная после замены в переменной ее значением Докажем, что система

попрежнему есть полная система.

В самом деле, по определению, имеем

Исключим производные от в правой части при помощи следующих подстановок, которые предполагают, что отлично от

и отбросим члены, которые попарно уничтожаются. Мы получим тогда выражение точно в том виде, как было написано выше. Таким образом,

При помощи тех же подстановок находим

Следовательно, новые скобки обращаются в нуль одновременно со старыми, и теорема, таким образом, доказана. Два только что установленных частных предложения приводят к следующей общей теореме:

Теорема. — Если дана полная система h уравнений между переменными

разрешимая относительно h из переменных р, например относительно переменных то система, которую получим, выполняя решение

где зависят лишь от и от q, есть попрежнему полная и, кроме того, якобиева система.

Действительно, решение данной системы (относительно, переменных ) может быть выполнено постепенно повторным применением той и другой из двух предыдущих операций (при этом порядок выполнения не имеет значения). При этом мы переходим от начальной системы к конечной системе при помощи ряда промежуточных систем, которые все будут полными (в силу двух предыдущих предложений), а потому и конечная система тоже будет полной. Мы получим таким способом следующие соотношения:

Так как переменные исключены из этих скобок, то последние уравнения не могут быть следствиями уравнений преобразованной системы. Они удовлетворяются, таким образом, тождественно, и, следовательно, результат преобразования есть якобиева система.

445. Теорема.

Если дана полная система k уравнений между переменными

разрешимая относительно переменных , то значения величин в функции от которые получают, разрешая систему, обращают в точный полный дифференциал выражение

Действительно, пусть система, разрешенная относительно , будет

Мы только что видели, что эта система представляет собой якобиеву систему. Поэтому для всех комбинаций индексов имеем тождества

Эти тождества и являются как раз условиями того, что выражение есть полный дифференциал.

446. Полный интеграл уравнения с частными производными. Характеристики.

Рассмотрим уравнение с частными производными, не содержащее неизвестйой функции z и имеющее тот же вид, как и уравнение, изученное выше:

Постоянная может быть произвольной или данной. Полным интегралом этого уравнения называют интеграл, зависящий от произвольных постоянных, не аддитивных, различных между собой и отличных от (если произвольно). Обозначим эти постоянных

Уравнение (а) получается исключением этих постоянных из k уравнений следующей системы:

Уравнение (а) предполагается разрешимым относительно по крайней мере одного из , например . В этом случае не

равно нулю. При таком предположении постоянные называются различными (distinctes), если последних уравнений предыдущей системы разрешимы относительно этих постоянных. Это предполагает, что якобиан

не равен нулю. Выполнив указанное решение, мы можем подставить найденные значения постоянных в оставшееся уравнение

и тогда получим соотношение (а), но разрешенное относительно При указанных предположениях, если постоянная произвольна, она необходимо должна быть отлична от остальных, так как предыдущую систему уравнений можно разрешить относительно k постоянных

Указав на эти предварительные соображения, составим линейное однородное уравнение с частными производными по независимым переменным , в котором F есть неизвестная функция,

Характеристики этого уравнения называются также характеристиками уравнения с частными производными (а). Они определяются системой обыкновенных дифференциальных уравнений

Уравнение и система уравнений допускают, как известно, одну и ту же систему различных интегралов. Интегрирование уравнения и системы представляет собой две эквивалентные проблемы, приводящиеся к определению этих интегралов. Мы рассмотрим более подробно два случая, очень важных для дальнейшего, в которых решение этой задачи сводится к определению полного интеграла уравнения с частными производными (а).

447. Интегрирование уравнений характеристик. Теорема I.

Если постоянная произвольная, то знание полного интеграла уравнения с частными производными позволяет полностью проинтегрировать дифференциальные уравнения характеристик. Действительно, если известен полный интеграл

то общий интеграл уравнений характеристик выражается формулами,

где суть новых произвольных постоянных.

В силу уравнений можно рассматривать переменные как Функции от независимой переменной и от произвольных постоянных а и b. Действительно, последних уравнений можно решить относительно переменных так как якобиан системы

есть тот же детерминант который мы предположили отличным от нуля (п° 446). Так как число постоянных равно числу произвольных постоянных, от которых зависит общий интеграл системы (у), то достаточно показать, что система получается исключением постоянных из уравнений и из уравнений, получающихся дифференцированием последних уравнений по

Выполним полное дифференцирование уравнений по переменной предполагая, что другие переменные рассматриваются как функции от Мы получим первую систему уравнений

С другой стороны, по определению интеграла , имеем тождествэнное соотношение между переменными q и постоянными

Продифференцируем это соотношение последовательно по каждой из переменных потом по каждой из величин . Получим вторую систему уравнений:

Умножим все уравнения первой системы на потом вычтем из каждого полученного уравнения соответствующее уравнение второй системы. Получим, таким образом, третью систему

Система уравнений, заключенных в последнем написанном уравнении для последовательных значений представляет собой линейную и однородную систему по отношению к каждой из скобок

так как при эта скобка тождественно обращается в нуль, так что ее можно не принимать во внимание. Определитель системы есть якобиан предполагаемый отличным от нуля. Поэтому все эти скобки равны нулю. Последняя система уравнений приводится, таким образом, к следующей:

Эти уравнения представляют собой дифференциальных уравнений характеристик, что и требовалось доказать.

Замечание. — Если постоянная в правой части уравнения с частными производными на произвольная, например, если положить для определенности, что уравнение имеет вид:

то формулы (5) не дают уже общего интеграла уравнений (у), так как в этом решении недостает одной произвольной постоянной. Мы получаем здесь лишь те характеристики, последовательные элементы которых удовлетворяют данному соотношению . Но так как уравнения допускают интеграл F = const, ибо F есть интеграл уравнения то становится ясным, что формулы дают все характеристики, начальный элемент которых удовлетворяет условию так как последующие элементы будут удовлетворять тому же условию.

Теорема II. — Если уравнение с частными производными разрешено относительно одной из величин р, например имеет вид:

то знание полного интеграла позволяет проинтегрировать дифференциальные уравнения характеристик.

Дифференциальные уравнения характеристик принимают теперь вид:

Величина оказалась исключенной из этой системы. Если оставить в стороне то из этих уравнений, которое дает и отбросить также первое из уравнений (§), единственное, которое содержит , то становится ясным, что уравнений

между переменными дают решение системы дифференциальных уравнений между теми же переменными

представляющее собой общее решение, так как оно зависит от произвольных постоянных. Чтобы закончить интегрирование дифференциальных уравнений характеристик, остается определить в функции от Но так как остальные переменные известны теперь в функции от то значение определяется квадратурой

Для приложений к механике оказывается важным то обстоятельство, что, когда известен полный интеграл z уравнения то общий интеграл системы непосредственно выражается формулами

448. Метод Якоби нахождения полного интеграла.

Рассмотрим уравнение с частными производными, не содержащее неизвестной функции ,

где есть постоянная (которая может и не быть произвольной).

Метод Якоби для получения полного интеграла этого уравнения заключается в том, что к уравнению присоединяют новых соотношений, каждое из которых содержит произвольную постоянную а,

и которые образуют вместе с полную систему k уравнений, разрешимую относительно

Когда эта система получена, из нее определяют значения в функции от q и от а и найденные значения подставляют в выражение Эта сумма будет точным дифференциалом, и значение , получающееся из нее квадратурой,

будет искомым полным интегралом. Действительно, z есть интеграл, так как величины суть частные производные от z, и этот интеграл есть полный интеграл, так как он зависит от произвольных, неаддитивных постоянных

Отсюда ясно, что вся трудность задачи заключается в том, чтобы образовать полную систему соотношений Наиболее естественный ход вычислений для образования этой полной системы состоит в последовательном вычислении функций следующим способом:

Сначала определяют отыскивая интеграл (отличный от ) линейного однородного уравнения

Потом определяют отыскивая интеграл (отличный от ), общий для системы двух линейных уравнений

Далее определяют отыскивая интеграл (отличный от ), общий для системы трех линейных уравнений

и так продолжают далее.

Линейные системы, полученные таким способом, представляют собой то, что называют полными системами, для изложения теории которых здесь нет места. Мы отсылаем поэтому к курсам анализа за всем, что относится к интегрированию этих систем и к доказательству их совместности.

Намеченный здесь ход вычислений допускает очень большое число различных вариантов и упрощений.

При этом можно использовать уже известные соотношения для упрощения последующей системы уравнений, подлежащих интегрированию, так как скобки Пуассона должны обращаться в нуль лишь в силу уравнений составляющих полную систему.

Кроме того, для преобразования полных систем можно применить теорему . Эта теорема позволяет заменить полную систему, полученную в ходе вычислений, например систему другой системой, полученной решением последней относительно , т. е. системой

так как эта последняя тоже представляет собой полную систему. После этого следует определить как общее решение линейной системы

Следует отметить, что переменные оказались исключенными из этой новой системы. - Это является ценным преимуществом такого способа интегрирования.

Не будем, однако, задерживаться более на подробностях, относящихся к вычислению, и вернемся к каноническим уравнениям Гамильтона.

449. Применение метода Якоби к каноническим уравнениям.

Уравнение с частными производными, от которого зависит интегрирование уравнений механики, может быть написано, как известно (п°437), в виде

где V есть неизвестная функция от независимых переменных t, q, а величины являются частными производными этой функции по переменным

Таким образом, кроме переменных q, имеется одна независимая переменная t, которая не входила в наши предыдущие вычисления. Чтобы иметь возможность пользоваться симметг ричными формулами, как это имело место до сих пор, положим

Этим мы вводим в вычисления дополнительно еще две переменные с индексом 0. Число членов в скобках Пуассона будет благодаря этому больше на один член с индексом 0. Чтобы избежать какой-либо неясности, условимся обозначать скобкой с индексом 0 внизу, например дополненные таким образом скобки, сохраняя прежнее обозначение без индекса для скобок, в которых суммирование распространяется, как прежде, лишь на индексы

Таким образом,

Если, в частности, буква не входит ни в ни в F, то скобки с индексом 0 и без индекса совпадают.

Заменим теперь t и соответственно через тогда левая часть уравнения (2) примет вид:

а само уравнение (2) будет:

Это уравнение разрешено относительно . Мы имеем, таким образом, условия теоремы II (п° 447) с той разницей, что будет больше одной переменной заменяющей в данном случае величину Если оставить в стороне уравнение, определяющее то дифференциальные уравнения характеристик будут:

Если известен полный интеграл уравнения (2а), содержащкй k различных постоянных (так как теперь имеем на одну постоянную больше, чем прежде), то общий интеграл предыдущей системы, на основании теоремы II (п° 447), будет выражен формулами:

Если мы опять заменим через t, то предыдущая система дифференциальных уравнений будет представлять собой систему канонических уравнений. Мы пришли, таким образом, к следующей теореме:

Теорема. — Если известен полный интеграл

уравнения с частными производными

то общий интеграл канонических уравнений

непосредственно выражается формулами (3).

Обратимся теперь к вычислениям, которые приводят к определению полного интеграла.

Первое линейное уравнение, интеграл которого F нужно определить, есть

Так как это уравнение не содержит находим из него интеграл F, не содержащий Возвращаясь теперь к переменной t вместо , приведем это уравнение к виду

Для определения полного интеграла уравнения (2) применим метод Якоби в его непосредственной форме. Нам нужно будет искать k различных интегралов уравнения (4), связанных условиями

так как скобки с индексом 0 и без индекса совпадают (в виду того, что функции F не зависят от ). Эти интегралы должны быть выбраны так, чтобы система

была разрешима относительнорх, Значениярй) которые мы получим из предыдущей системы и из уравнения обращают в точный дифференциал выражение

т. е. выражение

Значение V, получающееся отсюда квадратурой, зависит от k неаддитивных постоянных и представляет собой искомый полный интеграл. Если примем во внимание, что уравнения образуют систему, эквивалентную системе уравнений

так как из первой системы мы находим выражения для , то для интегрирования канонических уравнений получаем следующее правило:

Теорема. — Для интегрирования канонических уравнений достаточно определить k различных интегралов уравнения с частными производными

связанных условиями

и таких, что система

разрешима относительно .

Эти соотношения представляют собой k первых интегралов канонической системы. Значения , которые находим из этих уравнений, обращают в полный дифференциал выражение

так что V получается отсюда квадратурой. После этого k последних интегралов канонической системы определяются формулами

450. Случай, когда характеристическая функция Н не зависит от времени.

Этот случай имеет место, в частности, когда силовая функция U не содержит времени и связи также не зависят от времени. Величины х, у, z выражаются при этом в функции одних и Т также не содержит времени.

В этом случае характеристическая функция

представляет собой выражение полной энергии системы через переменные

Если оставить в стороне , то канонические уравнения приводятся к виду

При сделанных предположениях эти уравнения не содержат t. Они образуют систему уравнений только между переменными . Линейное уравнение, имеющее те же интегралы, есть

Этому уравнению удовлетворяет интеграл Н. Мы имеем, таким образом, непосредственно первый интеграл системы (5)

представляющий собой интеграл живых сил.

Заметим теперь, что система (5) есть система характеристик уравнения

где h — произвольная постоянная. Это в точности случай, изученный нами в п° 447 (теорема I).

Таким образом, полное интегрирование системы приводится к определению полного интеграла уравнения (6), зависящего новых постоянных, неаддитивных и отличных от

Для определения этого полного интеграла достаточно знать отличных от Н интегралов системы (5) или уравнения

удовлетворяющих условиям

Тогда значения , которые мы пслучим из системы k интегралов уравнений (5):

(эта система предполагается разрешимой относительно р), обращают в полный дифференциал выражение

и полный интеграл получается квадратурой.

Последние интегралов системы (5) будут:

Мы нашли, таким образом, интегралов уравнений движения, не зависящих от времени. Остается найти еще лишь один интеграл, который необходимо должен содержать время. Этот последний интеграл получается непосредственно, если функция известна. Действительно, мы получим сразу полный интеграл уравнения

имеющего те же интегралы, что и уравнения движения. Это будет выражение

В самом деле, проверкой убеждаемся, что V есть интеграл, так как имеем

Кроме того, V есть полный интеграл, так как функция V зависит от k произвольных постоянных а и А. Поэтому, на основании общего правила, последний интеграл определяется формулой

что дает для t значение:

451. Теорема Пуассона.

Если известны два интеграла уравнений движения, то третий интеграл дается выражением

Индекс скобки показывает, что переменная t заменена через . Эта теорема есть следствие тождества Якоби — Пуассона. Интегралы уравнений движения являются также интегралами уравнения с частными производными

где положено (п° 449)

По условию имеем

Следовательно, тождество Якоби — Пуассона

приводится к виду

что и доказывает теорему.

Если рассматриваются, в частности, два интеграла, не содержащие (как это всегда имеет место при интегрировании уравнений механики), то индекс 0 в обозначении скобок можно отбросить (п° 449), и мы получаем теорему Пуассона:

Теорема. - Если представляют собой два интеграла канонических уравнений, то выражение есть тоже интеграл этих уравнений.

Если бы этот новый интеграл был всегда отличен от (р и и от остальных новых интегралов, уже полученных применением этой теоремы, то достаточно было бы знать только два интеграла, чтобы вывести из них шаг за шагом все остальные интегралы. Это, однако, может иметь место лишь в исключительных случаях. Скобка Пуассона может дать уже найденный интеграл или привести к постоянной. Теорема Пуассона, хотя и не имеет такого значения, которое ей можно было бы приписать с первого взгляда, может тем не менее оказать большие услуги. Особенно интересную форму получает эта теорема, когда Н не содержит переменной

В этом случае мы знаем один первый интеграл уравнений движения, именно — интеграл живых сил

Пусть

есть второй интеграл уравнений движения. Тогда, на основании теоремы Пуассона,

есть тоже интеграл тех же уравнений. Но, так как есть интеграл уравнения с частными производными (4), соответствующего каноническим уравнениям, то тождественно удовлетворяет уравнению

Следовательно, есть то же, что и предыдущий интеграл уравнений движения может быть написан в виде

Мы имеем, таким образом, следующую теорему:

Теорема. — Если Н не содержат времена и если есть интеграл уравнений движения, то новые интегралы тех же уравнений получим, полагая

Если применить теорему Пуассона, комбинируя интеграл живых сил с другим интегралом не содержащим t, то эта теорема ничего не дает, так как она приводит в этом случае к простому тождеству

452. Множитель Якоби.

Теория множителя находит в уравнениях механики одно из своих главных применений.

Уравнение с частными производными, допускающее те же интегралы, как и канонические уравнения, есть уравнение (4):

или; если написать его в развернутой форме,

Но есть множитель этого уравнения, так как имеем тождественно

Следовательно, принцип последнего множителя Якоби применим к каноническим уравнениям движения:

Если известны все интегралы уравнений движения, кроме одного, то последний интеграл получается квадратурой.

Если Н не содержит время, то интегралы, не зависящие от времени, суть интегралы уравнения

которое также допускает множитель 1. Уравнения движения имеют в этом случае интегралов, различных между собой, из которых один, интеграл живой силы, известен. Поэтому, если можно найти новых интегралов, то последний интеграл получится квадратурой. После того как этот последний интеграл получен все q выражаются в функции от после чего t определяется квадратурой. В самом деле, имеем

Таким образом, если динамическая система имеет k степеней свободы и если силовая функция и связи не зависят от времени, то достаточно знать интегралов, не зависящих от времени и отличных от интеграла живых сил, чтобы задача могла быть закончена квадратурами. В частности, если имеются лишь две степени свободы, то знание только одного интеграла сверх интеграла живых сил достаточно для приведения задачи к квадратуре.