ГЛАВА XXII. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА

435. Вывод канонических уравнений в общем случае.

Мы рассмотрим здесь одно очень важное преобразование уравнений динамики, принадлежащее Гамильтону. Это преобразование основывается на предположении, что существует силовая функция U (в обобщенных координатах), которая может содержать также время.

Если обозначим через Т живую силу материальной системы, выраженную посредством t и параметров как в предыдущей главе, то уравнения динамики будут:

Уравнения Лагранжа представляют, таким образом, систему k дифференциальных уравнений второго порядка, определяющих переменные q в функции от t. Эту систему можно было бы сразу же привести к другой системе уравнений первого порядка, принимая q за вспомогательные неизвестные функции. Но к тому же результату, только в гораздо более удобной для приложений форме, можно прийти, принимая за вспомогательные неизвестные функции количества . В этом именно и заключается преобразование Гамильтона. Мы приведем сейчас связанные с ним вычисления.

Задача состоит в том, чтобы исключить из уравнений Лагранжа переменные q., вводя вместо них переменные

Так как Т есть квадратичная форма (вообще не однородная) от величин q, то ее производная Р, есть линейная функция от q. Таким образом, предыдущие уравнения образуют систему

линейных соотношений между переменными , откуда переменные q определяются как линейные функции от . Поэтому любую функцию от можно по желанию выразить либо посредством переменных , либо посредством переменных

Будем обозначать через дифференциалы, получающиеся при изменении переменных или переменных , в предположении, что t остается постоянным. Тогда будем иметь, выражая Т через q и

Положим

Принимая во внимание предыдущую формулу, получим

Отсюда заключаем (так как независимы), что если К выражено в функции от , а функции от , то

Уравнения Лагранжа благодаря этому могут быть написаны в виде

а соотношения (если принять во внимание, что и не содержит ) в виде

Положим теперь

и будем считать, что Н выражено в функции от ; тогда уравнения движения могут быть написаны в виде:

Это — канонические уравнения Гамильтона. Их можно написать, как только функция Н выражена через переменные функция Н называется характеристической функцией.

436. Случай, когда связи не зависят от времени.

В этом случае декартовы координаты х, у, z являются функциями от обобщенных координат q, не содержащими t. Поэтому х, у, z — линейные однородные функции от q, а — квадратичная однородная функция от q. Следовательно, по теореме Эйлера об однородных функциях, имеем

откуда

Таким образом, и характеристическая функция Н принимает более простой вид:

Замечание. - В случае, когда связи не зависят от времени, преобразование функции посредством замены переменных переменными представляет особый интерес. Так как — однородная квадратичная форма от переменных q, то мы можем написать

Отсюда получаем

Это система линейных уравнений, позволяющая определить q в функции от . Пусть

есть детерминант системы, — минор, относящийся к элементу Решая систему относительно получим

Внося эти значения q в 27, получим выражение в функции от р, также представляющее собой функцию второй степени. Переход от живой силы , выраженной в переменных к живой силе , выраженной в переменных , представляет собой хорошо известное преобразование квадратичной формы в присоединенную к ней форму. Такое преобразование применяют, в случае трех переменных, при переходе от уравнения конического сечения в точечных координатах к уравнению в тангенциальных координатах.

437. Случай, когда U не содержит времени.

В этом случае — U есть потенциальная энергия. Если, кроме того, связи не зависят от времени, то характеристическая функция

представляет собой полную энергию системы, выраженную посредством переменных ряд.