§ 3. КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ

493. Мгновенное движение жидкой частицы.

Движение жидкой частицы может быть разложено на поступательное движение, определяемое движением одной из ее точек, и относительное движение около этой точки. Мы будем изучать здесь относительное движение, ограничиваясь при этом мгновенным движением, т. е. распределением скоростей в один и тот же момент времени.

Проведем через точку М жидкой массы с координатами х, у, z три прямоугольные оси параллельные неподвижным осям и движущиеся вместе с точкой М. Выделим бесконечно малую частицу жидкости вокруг точки М, и пусть М будет точка этой частицы с относительными (бесконечно малыми) координатами . Относительная скорость V точки М. есть разность между абсолютной скоростью этой точки и скоростью точки М; обозначим проекции скорости V на оси через a, v, w. Величины в объеме частицы можно считать линейными функциями от относительных координат (рассматриваемых как дифференциалы), и все свойства, которые мы при этом получим, будут основываться на этом линейном характере формул.

Пусть u, v, w будут, как прежде, проекции абсолютной скорости точки ; тогда будем иметь:

494. Чистая деформация.

Рассмотрим сначала частный случай. Если величины и, формулах (1) суть частные производные относительно однородной функции второй степени , т. е. если имеем

то говорят, что мгновенное движение частицы есть частая деформация. Это условие равносильно тому, что выражение

есть полный дифференциал. Последнее соотношение выражает то обстоятельство, что геометрическое произведение вектора скорости V на бесконечно малое перемещение точки М равно количеству, на которое изменяется значение F на перемещении причем это свойство, очевидно, не зависит от выбора осей. Уравнения, характеризующие деформацию, имеют место, следовательно, для всякой системы прямоугольных осей.

Возьмем за оси координат оси поверхности второго порядка . Тогда функция будет иметь вид формулы (1) примут более простую форму:

Чистая деформация разлагается, таким образом, на три расширения, параллельные трем прямоугольным осям. При этой деформации оси поверхности удлиняются или сокращаются без изменения направления. Эти неизменные направления представляют собой оси чистой деформации.

Теорема. — Если однородная сферл испытывает чистую деформацию, то ее кинетический момент (главный момент количеств движения) относительно центра сферы равен нулю.

Чтобы установить это свойство, достаточно доказать, что относительный кинетический момент по отношению к каждой из осей чистой деформации [совпадающий в данном случае с абсолютным кинетическим моментом (п°293)] равен нулю. Возьмем эти оси за оси координат. Кинетический момент сферы относительно оси (если положить есть

так как ось есть главная ось инерции сферы, и потому соответствующее произведение инерции равно нулю.

495. Теорема.

Мгновенное движение жидкой частицы разлагается, и притом единственным способом, на чистую деформацию и мгновенное вращение (или представляет собой одно из этих двух движений).

Нужно показать, что можно, и притом единственным способом, определить F таким образом, чтобы привести формулы (1) к виду

где функция F (однородная второй степени) определяет чистую деформацию суть проекции мгновенного вращения

Функцию получим, умножая уравнения (3) на и складывая их. На основании теоремы Эйлера об однородных функциях будем иметь

где величины u, v, w нужно заменить их значениями (1).

Это значение F делает уравнения (3) совместными. Из них мы получаем значения .

Действительно, из уравнений (3) имеем

откуда, заменяя их значениями (1), получим:

Если равны нулю, то движение частицы приводится к чистой деформации. В этом случае говорят, что движение невихревое. В противном случае мгновенное вращение со с проекциями называется вихрем в точке М. Вихрь есть вектор, приложенный в этой точке. Движение частицы называется в этом случае вихревым.

496. Теорема.

Кинетический момент однородной сферической частицы жидкости относительно центра сферы зависит лишь от вихря и равен где со есть вихрь и -момент инерции сферы относительно ее диаметра.

Действительно, главный момент количеств движения приводится к кинетическому моменту, определяемому мгновенным вращением, так как кинетический момент, зависящий от чистой деформации, равен нулю, и потому полный кинетический момент частицы есть

Если жидкая сфера внезапно затвердеет, то, на основании теории удара, ее кинетический момент после удара не изменится. Отсюда видно, что вихрь с точностью до постоянного множителя равен мгновенному вращению, которое будет иметь сфера, если она внезапно затвердеет в рассматриваемый момент.