ГЛАВА XVI. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ И РЕАКЦИЙ

333. Уравнение движения.

Рассмотрим твердое тело, которое имеет две закрепленные точки и потому может лишь вращаться вокруг оси, проходящей через эти две точки. Предположим, что трения нет и что тело находится под действием приложенных к нему сил

Возьмем первую неподвижную точку О за начало трех прямоугольных осей координат Oxyz и проведем ось z через вторую неподвижную точку О, считая направление положительным направлением оси (фиг. 43).

Фиг. 43

Дифференциальное уравнение движения получим, применяя теорему моментов относительно неподвижной оси

Пусть есть момент инерции тела относительно этой оси и — угловая скорость в момент t. Мы знаем, что главный момент количеств движения относительно оси вращения есть (п° 326). Главный момент внешних сил относительно той же оси приводится к главному моменту сил, прямо приложенных, так как реакции в неподвижных точках пересекают ось. Теорема моментов дает поэтому уравнение

Таким образом, производная по времени от угловой скорости равна частному от деления главного момента прямо приложенных сил относительно неподвижной оси на момент инерции тела относительно той же оси.

Эта теорема показывает, что момент инерции входит в уравнение движения как фактор, характеризующий сопротивление тела вращению вокруг оси, что и оправдывает название момент инерции, которое дают этой величине.

Положение твердого тела в рассматриваемом случае определяется углом (фиг. 43), на который повернулась плоскость, проходящая через ось вращения и связанная с телом, от своего начального положения (например, от положения ). Тогда имеем и уравнение движения принимает вид:

Чаще всего Oz зависит лишь от положения тела (т. е. от угла ) и от времени, так что правая часть этого уравнения является данной функцией и t, и само уравнение представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, которое может служить для нахождения как функции от t. Определение движения тела приводится, таким образом, к интегрированию этого уравнения. В результате интегрирования в него войдут две произвольные постоянные, которые определяются начальными значениями величины и ее производной (или ).

334. Определение реакций в неподвижных точках.

Движение твердого тела вокруг неподвижной оси определяется одним уравнением, написанным в предыдущем пункте. Для определения реакций в неподвижных точках нужно составить шесть уравнений, применяя теорему количеств движения и теорему моментов в проекциях на каждую из трех осей.

Применим сначала теорему количеств движения. Пусть представляют собой проекции на оси главного вектора прямо приложенных сил; - проекции реакции Q в точке О; U, V, W — проекции Q в точке О (фиг. 43).

Теорема количеств движения дает три уравнения:

Определим левые части. Имеем:

Пусть будут координаты центра тяжести, М — полная масса тела; тогда

Продифференцируем эти равенства, принимая во внимание, что производные от представляют собой проекции — ), скорости центра тяжести; получим

Три уравнения, выражающие теорему количеств движения, принимают, таким образом, вид:

Применим теперь теорему моментов количеств движения. Пусть О есть главный момент действительно приложенных сил F относительно точки — его проекции на оси и а — расстояние . Теорема приводит к трем уравнениям:

Если подставим вместо vx, vy, vz их значгния, написанные выше, то увидим, что

т. е. последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение

предыдущего пункта, определяющее движение. Рассмотрим два других уравнения. Имеем:

Дифференцируя эти равенства по t, получим:

Три уравнения, выражающие теорему моментов количеств движения, принимают, таким образом, вид:

Последнее из уравнений (5) определяет движение, остальные же уравнения систем (2) и (5) позволяют определить реакции, но не вполне. Два первых уравнения системы (5) определяют реакции и V; далее из двух первых уравнений системы (2) можно найти U и V. После этого остается только одно уравнение (2)

которое определяет лишь сумму двух последних составляющих W и W. Уравнений движения оказывается недостаточно, чтобы определить эти составляющие в отдельности. Величина их в действительности зависит от упругих деформаций тела,

которые в рассматриваемой здесь теории не принимаются во внимание, так как твердое тело предполагается абсолютно неизменяемым по определению. Этот результат совершенно аналогичен полученному в статике (п° 192).

335. Реакции в случае, когда нет приложенных сил.

Если величины R и G равны нулю, то уравнения (2) и (5) упрощаются. Последнее из уравнений (5) непосредственно дает соотношение . Следовательно, мы имеем в данном случае равномерное вращение вокруг оси, и уравнения (2) и (5) приводятся к виду:

Три первых уравнения показывают, что геометрическая сумма реакций в неподвижных точках равна центростремительной силе центра тяжести, что, впрочем, является следствием теоремы движения центра инерции, так как нет никаких других сил, кроме этих двух реакций. Сумма W W их проекций на неподвижную ось равна нулю. Мы можем допустить, ничего не изменяя в движении тела, что обе составляющие W и W равны нулю и что, следовательно, обе реакции Q и Q нормальны к неподвижной оси.

Чтобы реакция Q в точке О была равна нулю, необходимо и достаточно, чтобы суммы были равны нулю, т. е. чтобы ось была главной осью инерции для точки О. В этом случае точка О, не испытывающая реакции, может быть сделана свободной, и это никак не отразится на движении тела. Отсюда имеем следующую теорему:

Если твердое тело, имеющее неподвижную точку, приведено во вращательное движение вокруг главной оси инерции, проходящей через эту точку, и если на тело не действуют никакие прямо приложенные силы, то оно будет продолжать вращаться вокруг той же оси с постоянной угловой скоростью.

Благодаря этому свойству главная ось инерции называется постоянной осью вращения.

При указанном предположении реакция Q точки О геометрически равна центростремительной силе центра тяжести, так как реакция Q равна нулю. Чтобы реакция Q тоже обратилась

в нуль, необходимо и достаточно, чтобы ось вращения проходила через центр тяжести. Если это дополнительное условие выполняется, то точки не испытывают реакций и можно их обе освободить от закрепления, не меняя чего-либо в движении тела, которое теперь стало совершенно свободным. Отсюда имеем теорему:

Если совершенно свободное твердое тело вращается вокруг оси центрального эллипсоида инерции, оно будет продолжать вращаться вокруг этой оси бесконечно долго без действия какой-либо внешней силы.

По этой причине такая ось получила название естественная или свободная (спонтанная) ось вращения.

Замечание. — Предыдущие заключения, относящиеся к существованию постоянных осей вращения, можно также весьма просто получить, выполняя приведение центробежных сил вращающегося твердого тела (п° 338). Для того чтобы какая-либо прямая в твердом теле была постоянной осью вращения, нужно, чтобы тело было в равновесии относительно системы осей, участвующих в его вращательном движении, предполагаемом равномерным. В этом случае фиктивные силы, которые нужно дополнительно ввести, приводятся к силам инерции переносного движения различных точек твердого тела, представляющим собой не что иное, как центробежные силы. Чтобы ось OR была постоянной осью вращения для твердого тела, закрепленного в точке О, центробежные силы должны иметь равнодействующую, проходящую через О, т. е. ось OR должна быть главной осью инерции для точки О (п° 328). Для того чтобы эта ось была, кроме того, свободной осью вращения, центробежные силы должны находиться в равновесии, т. е. ось OR должна быть осью центрального эллипсоида инерции.