Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА XVI. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ И РЕАКЦИЙ333. Уравнение движения.Рассмотрим твердое тело, которое имеет две закрепленные точки и потому может лишь вращаться вокруг оси, проходящей через эти две точки. Предположим, что трения нет и что тело находится под действием приложенных к нему сил Возьмем первую неподвижную точку О за начало трех прямоугольных осей координат Oxyz и проведем ось z через вторую неподвижную точку О, считая направление
Фиг. 43 Дифференциальное уравнение движения получим, применяя теорему моментов относительно неподвижной оси Пусть
Таким образом, производная по времени от угловой скорости равна частному от деления главного момента прямо приложенных сил относительно неподвижной оси на момент инерции тела относительно той же оси. Эта теорема показывает, что момент инерции Положение твердого тела в рассматриваемом случае определяется углом
Чаще всего Oz зависит лишь от положения тела (т. е. от угла 334. Определение реакций в неподвижных точках.Движение твердого тела вокруг неподвижной оси определяется одним уравнением, написанным в предыдущем пункте. Для определения реакций в неподвижных точках нужно составить шесть уравнений, применяя теорему количеств движения и теорему моментов в проекциях на каждую из трех осей. Применим сначала теорему количеств движения. Пусть Теорема количеств движения дает три уравнения:
Определим левые части. Имеем:
Пусть
Продифференцируем эти равенства, принимая во внимание, что производные от
Три уравнения, выражающие теорему количеств движения, принимают, таким образом, вид:
Применим теперь теорему моментов количеств движения. Пусть О есть главный момент действительно приложенных сил F относительно точки
Если подставим вместо vx, vy, vz их значгния, написанные выше, то увидим, что
т. е. последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение
предыдущего пункта, определяющее движение. Рассмотрим два других уравнения. Имеем:
Дифференцируя эти равенства по t, получим:
Три уравнения, выражающие теорему моментов количеств движения, принимают, таким образом, вид:
Последнее из уравнений (5) определяет движение, остальные же уравнения систем (2) и (5) позволяют определить реакции, но не вполне. Два первых уравнения системы (5) определяют реакции
которое определяет лишь сумму двух последних составляющих W и W. Уравнений движения оказывается недостаточно, чтобы определить эти составляющие в отдельности. Величина их в действительности зависит от упругих деформаций тела, которые в рассматриваемой здесь теории не принимаются во внимание, так как твердое тело предполагается абсолютно неизменяемым по определению. Этот результат совершенно аналогичен полученному в статике (п° 192). 335. Реакции в случае, когда нет приложенных сил.Если величины R и G равны нулю, то уравнения (2) и (5) упрощаются. Последнее из уравнений (5) непосредственно дает соотношение
Три первых уравнения показывают, что геометрическая сумма реакций в неподвижных точках равна центростремительной силе центра тяжести, что, впрочем, является следствием теоремы движения центра инерции, так как нет никаких других сил, кроме этих двух реакций. Сумма W W их проекций на неподвижную ось равна нулю. Мы можем допустить, ничего не изменяя в движении тела, что обе составляющие W и W равны нулю и что, следовательно, обе реакции Q и Q нормальны к неподвижной оси. Чтобы реакция Q в точке О была равна нулю, необходимо и достаточно, чтобы суммы Если твердое тело, имеющее неподвижную точку, приведено во вращательное движение вокруг главной оси инерции, проходящей через эту точку, и если на тело не действуют никакие прямо приложенные силы, то оно будет продолжать вращаться вокруг той же оси с постоянной угловой скоростью. Благодаря этому свойству главная ось инерции называется постоянной осью вращения. При указанном предположении реакция Q точки О геометрически равна центростремительной силе центра тяжести, так как реакция Q равна нулю. Чтобы реакция Q тоже обратилась в нуль, необходимо и достаточно, чтобы ось вращения проходила через центр тяжести. Если это дополнительное условие выполняется, то точки Если совершенно свободное твердое тело вращается вокруг оси центрального эллипсоида инерции, оно будет продолжать вращаться вокруг этой оси бесконечно долго без действия какой-либо внешней силы. По этой причине такая ось получила название естественная или свободная (спонтанная) ось вращения. Замечание. — Предыдущие заключения, относящиеся к существованию постоянных осей вращения, можно также весьма просто получить, выполняя приведение центробежных сил вращающегося твердого тела (п° 338). Для того чтобы какая-либо прямая в твердом теле была постоянной осью вращения, нужно, чтобы тело было в равновесии относительно системы осей, участвующих в его вращательном движении, предполагаемом равномерным. В этом случае фиктивные силы, которые нужно дополнительно ввести, приводятся к силам инерции переносного движения различных точек твердого тела, представляющим собой не что иное, как центробежные силы. Чтобы ось OR была постоянной осью вращения для твердого тела, закрепленного в точке О, центробежные силы должны иметь равнодействующую, проходящую через О, т. е. ось OR должна быть главной осью инерции для точки О (п° 328). Для того чтобы эта ось была, кроме того, свободной осью вращения, центробежные силы должны находиться в равновесии, т. е. ось OR должна быть осью центрального эллипсоида инерции.
|
1 |
Оглавление
|