§ 2. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА

423. Уравнения Лагранжа в общем случае.

Предположим, что координаты х, у, z точек системы выражены в функции от t и от обобщенных координат при помощи уравнений (4) предыдущего пункта. В движении системы параметры и координаты х, у, z представляют собой функции от t. Условимся считать переменные независимыми при частном дифференцировании, которым мы будем пользоваться, и обозначать штрихами полные производные переменных рассматриваемых как функции от t. Если продифференцировать полным образом первую из формул (4) относительно t, то получим в этих обозначениях

и аналогичные выражения для . Величины х, у, z выражены, таким образом, в явной форме от переменных и представляют собой линейные функции от q Будем считать попрежнему переменные и, кроме того,

независимыми при частном дифференцировании. Из предыдущей формулы получим

и аналогичные соотношения для у и

С другой стороны, убеждаемся в справедливости соотношения

выполняя полное дифференцирование, указанное в левой части, и заменяя в правой части его выражением (9). Кроме того, имеем аналогичные соотношения для переменных у и .

Вернемся теперь к выражению (6) для величины . Мы можем его переписать, распространяя суммирование на все точки системы,

Это выражение может быть заменено следующим:

или, в силу соотношений (10) и (11), выражением:

Обозначим через Т кинетическую энергию или полную живую силу системы

Заменяя в этой формуле их значениями в функции от t, q и q, на основании формулы (9) и аналогичных ей для у и z, получим Т в виде явной функции от переменных t, q и

Если условимся считать эти переменные независимыми при частных дифференцированиях, то предыдущее выражение для примет простой вид:

Уравнения движения (8) принимают при этом следующую краткую форму:

где Q; определяется формулой (7). Уравнения (14) называются уравнениями Лагранжа.

424. Случай, когда существует силовая функция.

Эти уравнения особенно удобны в том случае, когда существует силовая функция, которая может содержать также и время,

Эта функция при помощи формул (4) может быть выражена также через обобщенные координаты, что приводит ее к виду

В этом случае имеем

и, следовательно, на основании формулы (7),

Уравнения Лагранжа принимают при этом более удобную форму

Преимущество этих уравнений заключается в том, что все вычисления сводятся к составлению выражения для Т, т. е. к вычислению живой силы, выраженной в функции от переменных t, q и q, и к простым дифференцированиям.

425. Первый пример.

Пусть требуется составить уравнение движения тяжелой точки М, которая может скользить без трения по твердой прямой (стержню) OD, вращающейся вокруг вертикали Oz с постоянной угловой скоростью со и наклоненной к этой вертикали под постоянным углом .

Присоединим к вертикальной оси Oz, направленной вниз, две горизонтальные оси Ох и Оу. Пусть х, у, z — координаты точки — ее расстояние отточки О на прямой OD. Пусть — угол, на который вертикальная плоскость повернулась из своего начального положения xOz. В этом случае имеется только одна степень свободы и только одна обобщенная координата, которая должна быть определена в функции от t. Имеем

Отсюда получаем

откуда, предполагая массу точки равной единице,

С другой стороны, силовая функция равна

Единственное уравнение движения будет

что дает после выполнения вычислений

Это — линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью, интегрирование которого не представляет никаких затруднений.

426. Второй пример. Сферический маятник.

Движение тяжелой точки по сфере радиуса имеет две степени свободы. Пусть О есть центр сферы и вертикаль, направленная вниз. Положение точки М на сфере определяется углом радиуса ОМ с осью Oz и углом составляемым вертикальной плоскостью с неподвижной плоскостью . Абсолютная скорость v точки есть результирующая ее относительной скорости в плоскости и скорости переносного движения Примем массу точки за единицу; тогда будем иметь

С другой стороны,

Два уравнения Лагранжа будут иметь вид:

Выполняя дифференцирования, получим:

Второе уравнение выражает теорему площадей. Но уравнение живой силы, получается лишь путем комбинирования двух указанных уравнений.