§ 2. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ

489. Определение.

Если жидкость находится при неизменных условиях, когда действующие на нее силы не зависят от времени и силовая функция однозначна, то может случиться, что после более или менее продолжительного промежутка времени наступит установившееся состояние. Тогда пять функций , определяющих состояние жидкости, становятся не зависящими от I и зависят лишь от положения (х, у, z) рассматриваемой точки.

Если имеет место этот случай, то все частицы жидкости, проходящие друг за другом через одну и ту же точку, имеют в этой точке одну и ту же скорость и движутся по одной и той же траектории. Частицы жидкости, траектории которых пересекают данный весьма малый элемент площади, образуют то, что называют жидкой нитью.

Случаи установившегося движения встречаются часто. Таков случай резервуара, наполненного тяжелой несжимаемой жидкостью, которая удерживается на постоянном уровне посредством соответствующего пополнения и вытекает через небольшое отверстие в нижней части сосуда. Мы изучим этот случай ниже (п° 491).

490. Уравнение движения вдоль нити.

Предположим, как было сказано выше, что существует силовая функция U (однозначная и не зависящая от времени) и что плотность

зависит лишь от давления. Уравнениями движения будут уравнения (4), где функция зависит только от х, у, z и однозначна. Рассмотрим движение жидкой частицы вдоль нити, так что х, у, z будут функциями от t. Умножим уравнения (4) на dx, dy, dz и сложим. Получим

Пусть V есть алгебраическое значение с ко ости жидкой частицы. Имеем

и предыдущее уравнение может быть написано в виде

откуда, интегрируя, получим

Эта формула дает скорость частицы в функции от координат х, у, z и от постоянной С. Постоянная С одна и та же для всех частиц одной нити, но может меняться от одной нити к другой. Эта формула выражает теорему Бернулли, представляющую собой частный случай теоремы живой силы. Мы дадим здесь несколько приложений этой теоремы.

491. Истечение тяжелой несжимаемой жидкости.

Пусть тяжелая несжимаемая жидкость, содержащаяся в открытом сосуде, удерживается на постоянном уровне и вытекает через отверстие в тонкой стенке, находящееся в нижней части сосуда. Мы будем предполагать режим установившимся: и рассматривать движение частицы вдоль нити.

Проведем ось z в сторону действия тяжести и возьмем начало координат на верхнем уровне жидкости. Будем иметь:

Уравнение (1) принимает вид:

Предположим, что свободная поверхность жидкости в сосуде очень велика по отношению к отверстию. Все жидкие нити имеют свое начало на этой поверхности, где скорость V так мала, что ее можно считать равной нулю. Предположим, кроме того, что свободная поверхность находится под атмосферным давлением . Тогда V и z обращаются в нуль одновременно при и это условие определяет постоянную С в предыдущем уравнении, которое принимает теперь вид:

Если по выходе из отверстия струя попадает в свободный воздух, то давление вновь принимает начальное значение и скорость истечения жидкости дается простой формулой:

Отсюда получаем следующую теорему Торричелли:

Если тяжелая несжимаемая жидкость, удерживаемая на постоянном уровне, вытекает через узкое отверстие в нижней части сосуда, то скорость частицы жидкости у отверстия такова, как если бы она свободно падала с высоты, равной высоте верхнего уровня жидкости.

492. Истечение газа.

Рассмотрим газ под постоянным давлением заключенный в сосуде больших размеров и вытекающий через маленькое отверстие, вследствие чего получается установившийся режим. В сосуде, по крайней мере на некотором расстоянии от отверстия, скорость V будет почти равна нулю и давление равно постоянной величине Уравнение движения вдоль нити будет поэтому

Значение V зависит от гипотезы, которую мы принимаем относительно уравнения, связывающего . Мы выведем две формулы, относящиеся соответственно истечению изотермическому и адиабатическому:

1°. Формула Навье. Если истечение изотермическое (т. е. температура остается постоянной), то, на основании закона Мариотта, имеем откуда

2°. Формула Цейнера. Если истечение адиабатическое (т. е. теплообмен с внешней средой равен нулю), то имеем (п° 488):

Формула истечения будет

Можно доказать, что скорость звука в газе определяется формулой

Предыдущая формула, принадлежащая Цейнеру, может быть написана в виде

Показатель Y больше единицы. Следовательно, если давление у отверстия стремится к 0 (как это имеет место, когда истечение происходит в пустоту), то скорость истечения V стремится к

В частности, для воздуха при температуре 0° и нормальном давлении .

Ни одна из двух указанных здесь гипотез не соответствует в полной мере действительности, но формула Цейнера практически дает более точные результаты.