§ 5. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГИРОСКОПА У ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ

403. Кажущееся движение какого-нибудь твердого тела, подвещенного в его центре тяжести.

Чтобы определить кажущееся (относительное) движение твердого тела у поверхности Земли, остановимся на предположении, которое приводит к самому простому решению и заключается в том, что притяжение Земли (но не вес тела) постоянно. Это предположение, впрочем, более точно, чем гипотеза о постоянстве веса, так как притяжение изменяется от места к месту более медленно, чем центробежная сила, создаваемая вращением Земли. Указанное предположение позволяет весьма просто

рассмотреть задачу о кажущемся (относительном) движении твердого тела, подвешенного в его центре тяжести, будет ли оно телом вращения или нет.

Рассмотрим тяжелое твердое тело, подвешенное в его центре тяжести Г к точке, неизменно связанной с Землей. Реальными силами, действующими на тело, будут притяжение Земли и реакция точки подвеса. Силы притяжения, предполагаемые во всех точках тела параллельными между собой и пропорциональными массам, имеют единственную равнодействующую, приложенную в центре тяжести Г. Эта точка не является абсолютно неподвижной, так как она увлекается движением Земли: пусть J есть ее ускорение. Мы будем изучать движение тела по отношению к осям постоянного направления, имеющим начало в точке Г и движущимся вместе с нею. Эти оси совершают, таким образом, поступательное движение в пространстве. Мы можем, на основании теории относительного движения, определять движение относительно этих осей, как если бы это было абсолютное движение, при условии, что к реальным силам добавлены силы инерции переносного движения, вызванные поступательным движением подвижных осей. Эти силы для каждой точки равны Они параллельны между собой и имеют единственную равнодействующую, приложенную в центре тяжести тела. Движение твердого тела относительно указанной системы отсчета есть, таким образом, движение тела, подвешенного в неподвижной точке и находящегося под действием сил, имеющих равнодействующую, приложенную к этой точке. Это движение представляет собой известное движений по Пуансо.

Движение по отношению к Земле получается как комбинация этого относительного движения с переносным движением подвижных осей, т. е. с суточным движением Земли.

Наиболее интересным является случай, когда твердое тело представляет собой однородное тело вращения, подвешенное в точке своей оси. Ось тела описывает в этом случае по отношению к системе конус вращения вокруг оси кинетического момента, который остается неизменным в этой системе отсчета и, следовательно, имеет неизменное направление относительно неподвижных звезд. Кажущееся движение тела получается в результате наложения суточного движения небесного свода на это простое движение.

404. Кажущееся (относительное) движение гироскопа, подвешенного в его центре тяжести.

Рассмотрим тот случай, когда тело вращения, подвешенное в его центре тяжести, представляет собой гироскоп, например тор, которому сообщено по отношению к Земле быстрое вращение вокруг его оси. Абсолютное вращение гироскопа, т. е. вращение его по отношению к осям неизменного направления, проходящим через центр тяжести, будет результирующим из этого относительного вращения и из вращения Земли; но так как весьма мало, то это абсолютное вращение тора отличается от относительного лишь на незаметную величину, и ось тела отклоняется от неподвижной оси кинетического момента тоже на незаметный угол. Конус, описываемый в пространстве осью тела вокруг оси кинетического момента, приближенно совпадает поэтому с этой осью, и ось тела, если пренебречь незначительными колебаниями, имеет в пространстве, как и ось кинетического момента, Неизменное направление. Ориентация оси тела в пространстве не зависит, следовательно, от вращения Земли. Если ось гироскопа направлена на какую-нибудь звезду, то она будет постоянно следовать за ней по небесному своду. Это кажущееся перемещение оси гироскопа заключает в себе проявление или, если угодно, механическое доказательство вращения Земли вокруг своей оси. Точнее будет, однако, сказать, что это есть опытная проверка, впрочем весьма интересная, законов относительного движения.

405. Кажущееся (относительное) движение гироскопа, центр тяжести которого закреплен, а ось симметрии удерживается в неподвижной плоскости.

Гироскоп оказывается пригодным также для другого опыта, который еще более ясно показывает влияние движения Земли и представляет собой лишь применение теории, изложенной в предыдущем параграфе.

Предположим, что при помощи подходящего приспособления ось гироскопа, движущегося около точки Г, вынуждена оставаться в плоскости (Р), неизменно связанной с Землей. Эта плоскость относительно осей будет совершать вращение с угловой скоростью проходящей через точку Г и равной угловой скорости Земли. Вращение плоскости (Р) происходит вокруг прямой параллельной земной оси (Южный полюс — Северный полюс). Следовательно, если обозначим

через а угол этой оси с плоскостью (Р), то будет казаться, что ось гироскопа будет находиться в плоскости (Р) под действием пары, момент которой приближенно равен (п° 402):

где обозначает угол оси тела с проекцией TZ оси TS на плоскость (Р). Эта пара стремится привести, как мы это видели выше (п° 400), ось в такое положение, где она составляет наименьший возможный угол с осью вращения Земли, представляющей собой ось переносного вращения. Следовательно, ось гироскопа будет испытывать колебания около этого положения равновесия, с периодом полного колебания

Примем за единицу времени секунду. Пусть есть угловая скорость вращения гироскопа, выраженная числом оборотов в секунду; имеем

подставляя эти значения в предыдущую формулу, получим (в секундах)

Гироскоп обычно представляет собой тор, в котором радиус образующего круга значительно меньше, чем радиус кольца, так что будем иметь приближенно

Тогда с практически достаточной точностью получаем от 200

Эта величина должна быть значительной, так как число оборотов в секунду практически ограничено. Колебания оси

гироскопа вокруг своего положения равновесия будут поэтому очень медленными; они легко могут оказаться незаметными благодаря помехам, происходящим от несовершенства прибора, и потому наблюдать за ними весьма трудно.

Два наиболее интересных случая те, когда ось тела заставляют колебаться или в плоскости меридиана, или в плоскости горизонта. Если колебания происходят в плоскости меридиана, то Положение равновесия оси симметрии тора совпадает с параллелью к земной оси. Период полного колебания есть

Этот период не зависит от широты. Он зависит лишь от угловой скорости вращения гироскопа. Фуко, которому принадлежит идея этих опытов и прибор которого будет описан ниже, сообщал тору угловую скорость 200 оборотов в секунду, что дает или около 14 сек.

Фиг. 56

Если колебания оси происходят в горизонтальной плоскости, то положение равновесия оси симметрии гироскопа совпадает с меридианом и период полного колебания равен

где а есть широта места. Таким образом, в этом случае период колебания зависит от широты.

406. Гироскоп Фуко.

Мы опишем здесь гироскоп, построенный и применявшийся Фуко (фиг. 56). Ось (предполагаемая на чертеже горизонтальной) тора опирается на два подшипника, связанные с первым кольцом Н, которое может двигаться вокруг горизонтальной оси DE. Чтобы это было возможно, кольцо Н опирается стальными ножами на две твердые горизонтальные плоскости, вправленные во второе кольцо V. Кольцо V может вращаться вокруг вертикальной оси FP. Это достигается тем, что оно подвешено на нити и опирается на

подпятник Р. Все прикреплено к подставке S, основание которой снабжено тремя регулировочными винтами А, В, С. Оси вращения обоих колец должны пересекаться в центре тяжести тора.

Оба кольца представляют собой подвес Кардана, так что ось тора, имея возможность вращаться вокруг двух взаимно перпендикулярных осей, может принять любое направление в пространстве.

Если кольцо V закрепить в раме, то ось тора будет двигаться только в вертикальной плоскости. Если соединить его жестко с кольцом Н, взяв последнее в горизонтальном положении, то ось тора сможет двигаться только вместе с кольцом V и, следовательно, будет все время оставаться в горизонтальной плоскости.

Этот замечательный инструмент позволяет осуществить описанные нами опыты. Он может служить, когда нельзя видеть небо, для определения меридиана, направления земной оси и направления вращения Земли.

Если заставить ось тора колебаться в горизонтальной плоскости, то после нескольких колебаний она остановится в направлении меридиана. Если привести эту ось в колебательное движение в плоскости меридиана, определенной предыдущим опытом, то после нескольких колебаний она остановится в положении, параллельном земной оси, причем вращение гироскопа будет происходить в направлении вращения Земли.

Эти опыты с успехом были выполнены Фуко, однако постановка их связана со значительными трудностями. Большая угловая скорость, которую нужно сообщить кольцу, подвешенному таким ненадежным способом, не безопасна. В особенности же почти невозможно осуществить на практике строгое совпадение центра тяжести кольца с точкой пересечения обеих осей вращения. Между тем это условие необходимо для того, чтобы эффекты, вызванные действием тяжести, не маскировали тех, которые мы желаем наблюдать.

Эти трудности были устранены применением барожироскопа Жильбера, теорию которого мы сейчас рассмотрим.

407. Барожироскоп Жильбера.

Применение гироскопа Фуко осложняется той трудностью, которую приходится преодолевать, чтобы избавить прибор от влияния силы тяжести.

Ф. Жильбер изобрел инструмент, который дает практически более удобное механическое доказательство вращения Земли. Этот прибор позволяет регулировать влияние силы тяжести и заранее его учитывать. Мы объясним сначала идею опыта, а потом дадим описание прибора.

Пусть тор приведен в быстрое вращение вокруг своей оси с угловой скоростью и подвешен в центре тяжести Г. Предположим, что на оси тора укреплена небольшая добавочная масса на расстоянии а от центра тяжести. Заставим ось тора двигаться в вертикальной плоскости (Р), неизменно связанной с Землей. Можно считать, что относительное движение оси тора в этой плоскости определяется двумя силами, приложенными в одной и той же точке оси Одна из этих сил есть вес массы . Другая — фиктивная сила F, параллельная вектору угловой скорости вращения Земли, действующая в ту или другую сторону в зависимости от направления вращения тора, согласно принципу стремления осей вращения к параллельности, и равная

если в величине пренебречь разностью (порядка ) между абсолютной и относительной угловыми скоростями тора.

Пусть в вертикальной плоскости (Р) TV есть вертикаль, направленная вниз (фиг. 57), и —горизонталь. Проведем вектор , геометрически равный вектору угловой скорости вращения Земли и составляющий угол а с его проекцией ZT на плоскость (Р). Обозначим через угол, составляемый прямой TZ с вертикалью Пусть есть проекция фиктивной силы F на плоскость (Р); вектор составляет с направленной вниз вертикалью ГУ (или с весом Р массы ) угол или в зависимости от направления вращения сообщенного тору. Величина есть

Движение оси тора в плоскости (Р) определяется равнодействующей R сил Р и и эта равнодействующая также

неизменна по величине и направлению. Горизонтальная и вертикальная проекции силы равны, в зависимости от направления

Пусть Е есть постоянный угол наклона равнодействующей R к вертикали; в зависимости от направления имеем

Все происходит так, как если бы на ось тора в плоскости (Р) действовала сила постоянная по величине и направлению. Ось тора будет поэтому совершать колебательное движение около некоторого положения равновесия. Положение равновесия оси составляет с вертикалью угол Е, определяемый предыдущими формулами. Этот угол называется девиацией, причем девиация Е имеет место в ту или в другую сторону в зависимости от знака Е.

Фиг. 57

Если плоскость (Р) поворачивать вокруг вертикали, то в каждом азимуте будет иметь место различная девиация, так как a, a следовательно, и зависят от этого азимута.

В действительности вес Р превосходит силу и девиация меняет знак в соответствии со знаком Девиация достигает своего абсолютного максимума вместе с силой т. е. когда или, иначе, когда плоскость (Р) содержит F и совпадает, следовательно, с плоскостью меридиана. В этом частном случае [3 есть угол между земной осью (север — юг) и направленной вниз вертикалью или дополнение широты места (до 90°). Если обозначить широту через L, то получим, в зависимости от направления вращения

Как указано, в действительности устраивают так, что вес оказывается намного больше, чем сила . В таком случае силой в знаменателе предыдущих формул можно пренебречь по сравнению с весом Р. Кроме того, угол Е вообще мал, и тангенс его можно заменить значением самого угла.

Фиг. 58

Таким образом, получаем с достаточным приближением более простое выражение:

Выбор знака зависит от направления вращения тора.

Барожироскоп Ф. Жильбера (фиг. 58) представляет собой прибор, позволяющий наблюдать указанные выше эффекты. Даем описание его устройства.

Тор D изготовлен из бронзы; стальная ось тора может вращаться на остриях в конических подшипниках, вделанных в винты v и , которые ходят в стальной раме СС, имеющей форму ромба. Эта рама опирается призмами А и А на стальные

поверхности b и b цилиндрической формы вдоль нижних образующих этих поверхностей. Действуя на винты о и о и на небольшие массы и и и, связанные с рамой, приводят центр тяжести тора и рамы на ось колебаний призм. Нижний винт v несет иглу по продолжению оси тора, по которой может с большим трением скользить маленький движок р, представляющий собой добавочную массу системы и обеспечивающий в то же время вертикальность оси тора в положении устойчивого равновесия, когда тор находится в покое.

Ось тора имеет шкив Е, позволяющий приводить тор в быстрое вращение (по крайней мере 150 оборотов в секунду) от шкива мотора. Подставка 61 для призм соединена с ножкой И, которая может вращаться со значительным трением вокруг вертикальной оси, что позволяет переводить вертикальную плоскость, проходящую через ребра призм, а следовательно, также и плоскость колебаний (Р) оси тора, перпендикулярную к предыдущей, последовательно во все азимуты.

Тору сообщают быстрое вращение вокруг его оси. Тогда положение равновесия тора и рамы не будет соответствовать вертикальному направлению иглы. Направление иглы будет более или менее отклонено от вертикали в зависимости от ориентации плоскости колебаний. Наибольшее отклонение будет иметь место в плоскости меридиана, причем оно будет направлено в ту или другую сторону от вертикали в зависимости от направления вращения тора.

Все эти явления вытекают из предыдущей теории. Правда, в предыдущих расчетах мы не учитывали влияния рамы, которая совершает колебания вокруг ребер призм вместе с осью тора. Легко, однако, убедиться в том, что рама не оказывает заметного влияния на величину девиации. В самом деле, единственными новыми силами, которые нужно было бы учесть в относительном движении оси тора, будут силы инерцин переносного движения и сложные центробежные силы для всех точек рамьг. Силами инерции переносного движения можно пренебречь вследствие малости угловой скорости вращения Земли, а сложных центробежных сил, имеющих сколько-нибудь заметную величину, нет, так как рама не участвует во вращательном движении тора.

Единственный эффект действия рамы заключается в увеличении инерции колеблющейся системы и, следовательно, в увеличении периода колебаний системы около опорных ребер призм.

Девиация в плоскости меридиана будет поэтому определяться той же формулой, что и прежде:

Напомним, что С есть момент инерции тора относительно его оси, (X — масса движка, а — расстояние движка от оси колебаний, L — широта места, и — угловые скорости вращения тора и Земли.

Следующие числовые данные относятся к опытам, которые производились в Парижском институте.

Тор и движок изготовлены из одного и того же металла, плотность их можно принять за единицу. За единицу длины взят сантиметр и за единицу времени — секунда. Тогда будем иметь для прибора следующие данные.

Движок: радиус высота .

Расстояние:

.

Применяем формулу

и, приводя результат к градусам и минутам, находим что и было подтверждено опытами.