§ 3. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ В ОТНОСИТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ, КОГДА ПЕРЕНОСНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЕСТЬ РАВНОМЕРНОЕ ВРАЩЕНИЕ

394. Уравнения относительного движения тела.

Рассмотрим попрежнему твердое тело вращения, опирающееся одной из точек своей оси, и сохраним прежние обозначения.

Пусть оси Oxyz представляют собой три главные оси инерции, связанные с телом, и пусть движение их относительно триэдра определяется при помощи углов Эйлера Но теперь триэдр уже не будет более неподвижным: мы будем предполагать, что этот триэдр вращается равномерно с угловой скоростью вокруг оси по отношению к неподвижной системе Два эйлеровых угла будут теми же самыми, независимо от того, отнесен ли триэдр к неподвижному триэдру или к подвижному триэдру лишь азимут (угол прецессии) будет различным в обоих случаях; обозначим через абсолютный азимут, т. е. азимут, отнесенный к неподвижному триэдру.

Абсолютная угловая скорость прецессии равна сумме относительной и переносной угловых скоростей. Имеем поэтому

в предположении, что триэдры совпадают при

Проекции относительной угловой скорости на оси определяемые, как и выше, даются формулами

Проекции на те же оси абсолютной угловой скорости выводятся из предыдущих прибавлением они имеют значения:

производные от этих величин будут (так как ):

Чтобы получить уравнения относительного движения тела по отношению к системе отсчета , нужно подставить эти дополненные значения и значения их производных вместо соответствующих значений тех же величин, входящих в уравнения (2) п°392 и относящихся к абсолютному движению. Соберем отдельно члены с и члены с и перенесем их в правые части. Измененные уравнения (2) примут

следующую форму, в которой левые части не изменились, но правые части дополнены:

Таковы уравнения относительного движения. Члены с имеют после преобразований вид:

единственный член с есть

395. Результирующие моменты сложных центробежных сил и сил инерции переносного движения.

Интерпретация членов, которые мы только что вычислили, получается непосредственно. Мы знаем, что уравнения относительного движения могут быть написаны так же, как пишутся уравнения абсолютного движения, при условии, что дополнительно введены два рода фиктивных сил: силы инерции переносного движения и сложные центробежные силы. Буквы со штрихами в правых частях уравнений (1) как раз и обозначают результирующие моменты именно этих дополнительно введенных сил. Два введенные в уравнения (1) момента нельзя смешать между собой, так как силы инерции переносного движения пропорциональны , а сложные центробежные силы пропорциональны . Отсюда выводим следующее заключение:

Результирующие моменты сложных центробежных сил относительно осей равны соответственно и N, аналогичные величины для сил инерции переносного движения равны .

Эти результаты, очевидно, могут быть получены также непосредственным вычислением. Но этот последний луть несколько длиннее, чем указанный здесь.

Легко видеть, что имеет место следующее тождество:

Это соотношение выражает то обстоятельство, что результирующий момент относительно точки О сложных центробежных сил перпендикулярен к оси относительного вращения. Этот результат находится в полном согласии с известной теоремой, утверждающей, что работа этих сил в относительном движении равна нулю.

396. Гироскопический эффект в относительном движении. Новое выражение принципа стремления осей вращения к параллельности.

Предположим, что угловая скорость вращения тела вокруг собственной оси очень велика, так что ее можно считать весьма большой величиной первого порядка, между тем как составляющие , нормальные к оси тела, весьма малы, так же как и вращение подвижного тела отсчета. Рассматривая эти количества как малые первого порядка, мы можем считать все члены, входящие в выражения и А, за исключением первого члена выражения малыми величинами второго порядка. Если пренебречь малыми членами второго порядка, то результирующий момент фиктивных сил, которые прикладываются к телу в относительном движении, приводится только к моменту относительно оси имеющему приближенное значение

Поэтому при рассмотрении относительного движения можно привести фиктивные силы к одной только силе, приложенной к оси Oz тела в точке, находящейся на расстоянии а от неподвижной точки в направлении проекции , так что момент этой силы относительно точки О совпадает с Z. Можно предположить, что эта единственная сила Р параллельна оси переносного вращения в этом случае она должна иметь величину

Это заключение позволяет сформулировать замечательное правило, представляющее собой новое выражение принципа стремления осей вращения к параллельности:

Если твердое тело вращения, закрепленное в одной из точек своей оси, совершает вокруг нее весьма быстрое вращательное движение и. если подвижная система отсчета совершает равномерное переносное вращение вокруг неподвижной оси, проходящей через закрепленную точку, с небольшой по величине угловой скоростью, то момент относительно этой точки фиктивных сил, которые нужно ввести при рассмотрении относительного движения тела, приводится в основном к моменту одной только силы, приложенной к точке оси тела и стремящейся привести ось относительного вращения к совпадению по направлению с осью переносного вращения.

397. Согласованность обоих выражений принципа стремления осей вращения к параллельности.

Два принципа, один, сформулированный в предыдущем пункте, и другой — в п° 385, имеют некоторые внешние различия, но в действительности из них вытекают одни и те же следствия.

Рассмотрим, например, движение оси тела вращения, находящегося в быстром вращательном движении и подвергающегося действию одной силы Р, постоянной по величине и направлению и приложенной к оси на расстоянии а неподвижной точки. Применяя принцип стремления осей вращения к параллельности в его первой форме, мы получили коническое движение тела с угловой скоростью прецессии (п° 387).

Новое выражение принципа позволяет получить тот же самый результат. Отнесем тело к подвижной системе отсчета, совершающей точно такое же прецессионное движение с угловой скоростью выражение которой мы только что написали. Фиктивная сила, которую мы должны прибавить в относительном движении и которая определяется принципом в его второй форме, представляет собой в точности силу, уравновешивающую силу Р. Поэтому относительное движение тела будет движением по Пуансо, и так как ось тела является постоянной и устойчивой осью вращения, вокруг которой происходит в основном относительное вращение, то эта ось будет оставаться почти неизменной в подвижной системе

отсчета. Ее действительное движение приводится, таким образом, приближенно к переносному движению, т. е. к прецессионному движению системы отсчета.

Эти рассуждения применимы, в частности, к движению тяжелого тела вращения около неподвижной точки. Благодаря наличию конического движения оси тела вокруг вертикали эта ось, хотя и наклонена, находится в относительном равновесии в вертикальной плоскости, вращающейся вместе с телом. Равновесие в этой плоскости поддерживается фиктивной силой, происходящей от прецессионного движения. Таким образом, прецессионное движение является единственной причиной того, что тело не падает. Если создать препятствие этому движению, поставив, например, на его пути какой-нибудь предмет, имеющий вертикальное ребро, на которое ось тела должна натолкнуться, то сразу же происходит падение тела.