II. О ПРИНЦИПЕ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

Принцип наименьшего действия в собственном смысле сводит составление уравнений механики к нахождению минимума определенного интеграла

где Т есть полная живая сила; интеграл Л называют дейт ствием. Но понимаемый таким образом принцип предполагает, что связи и силовая функция не зависят от времени (п° 431). Интересно, однако, рассмотреть принцип наименьшего действия как частный случай другого более общего принципа, который приводит, как и принцип наименьшего принуждения, К общему уравнению динамики во всей его общности. Поэтому

мы не будем пока делать никаких предположений ни о существовании силовой функции, ни о независимости связей от времени.

Принцип, распространенный на этот общий случай, приводит составление уравнений движения к выражению условия обращения в нуль вариации действия для всех вариаций координат и времени, удовлетворяющих условиям, которые мы должны теперь точно определить. Дадим сначала формулировку принципа:

Общий принцип. - Уравнения движения материальной системы выражают экстремали интеграла

для всех вариаций координат точек системы, при которых остаются неизменными крайние положения системы и которые совместимы со связями, существующими в момент t, при условии, что соответствующая вариация времени определяется из соотношения

Назовем, в обобщенном смысле, траекторией системы совокупность ее последовательных положений (Р). Вариации определяют изменение траектории и ставят в соответствие новое положение (Р) системы положению (Р), которое она занимала в момент t. Вариация времени определяется тогда условием, что разность живых сил в соответствующих положениях (Р) и в точности равна элементарной работе прямо приложенных сил при переходе системы из первого (действительного) положения во второе (варьированное). Заметим при этом, что если связи зависят от времени, то варьированное движение, вообще говоря, будет несовместимо со связями.

Дадим теперь доказательство этого принципа.

Дифференцируя в b выражение

находим после несложных преобразований

откуда

Проинтегрируем это равенство между крайними моментами и t. Выполняя, далее, интегрирование по частям и принимая во внимание, что крайние положения фиксированы, получим

Если принять, что вариация времени определяется условием (1), то будем иметь

откуда видно, что условие обращения в нуль величины для всех вариаций совместимых со связями, каковы они в момент t, равносильно обращению в нуль суммы под ком интеграла, что приводит к общему уравнению динамики. Принцип, таким образом, доказан.

Замечание. — Вариация соответствующая системе вариаций может быть найдена интегрированием выражения полученного из уравнения (2). Таким образом, находим

и далее, интегрируя по частям,

В этом равенстве величину ЬТ под знаком интеграла нужно заменить ее значением (1).

Принцип наименьшего действия. - Классический принцип наименьшего действия есть частный случай предыдущего общего принципа. Если связи не зависят от времени и существует силовая функция, тоже не зависящая от времени,

то варьированные траектории будут совместимы со связями. Условие (1) принимает вид и обеспечивает постоянство энергии системы. Если допустить, что обращение в нуль величины обусловливает минимум А, то принцип принимает следующую форму:

Среди всех движений, которые переводят систему из данного положения в данное положение и при которых сохраняется одно и то же постоянное значение h энергии , действительному движению соответствует минимум действия А. Это условие экстремума определяет уравнения движения.

Таков принцип наименьшего действия в той форме, которую ему дал Лагранж. Якоби значительно уточнил этот принцип, показав, что он приводит к дифференциальным уравнениям траекторий и позволяет определить их независимо от времени, в течение которого они описываются (п° 431 и 432).

Принцип Якоби. — Приведем здесь доказательство, уже данное в п°432, несколько его уточняя. Выразим Т и U в функции от t и от обобщенных координат независимых между собой. Рассмотрим вдоль траектории эти координаты и t как функции параметра X, приписывая ему значения в крайних положениях системы. могли бы, в частности, выбрать в качестве X одну из координат q. Обозначим через (Т) ту величину, в которую обращается Т, когда мы заменим производные производными по (п°432).

Мы видели (п°432), что из уравнения выражающего постоянство энергии , вытекает соотношение между t и X:

и обратно. Условие (1) позволяет полностью исключить t из интеграла А, который принимает, таким образом, вид:

Принцип Якоби может быгь теперь сформулирован следующим образом:

Если система вынуждена двигаться, сохраняя постоянную энергию ее траектории представляют собой экстремали интеграла (2), указанного выше. Поэтому для них исчезает вариация этого интеграла, самый же интеграл, вообще говоря, принимает наименьшее значение. Каждая траектория определяется двумя крайними положениями системы, соответствующими значениям параметра

Положение системы на ее траектории определяется в функции от времени, или, что сводится к тому же, значение t определяется в функции от из того условия, что энергия системы равна h, m. е. интегрированием уравнения (1). Это интегрирование приводится к квадратуре

Экстремали интеграла (2) выражаются дифференциальными уравнениями

и зависят, следовательно, от постоянных интегрирования, которые определяются двумя данными положениями системы.

Чтобы вывести принцип Якоби, достаточно повторить доказательство, уже данное в п° 432, т. е. показать, что исключение времени из уравнений Лагранжа

и уравнения (1) живой силы, связывающего и 1, которое должно привести к уравнениям траекторий, дает уравнения (3) экстремалей.

Это действительно имеет место. При помощи известных Подстановок (п° 432)

уравнения Лагранжа принимают вид:

после этого достаточно заменить производную ее значением (1), чтобы получить уравнения (3) экстремалей.

Замечание. — Определение траекторий при помощи принципа Якоби сводится к чисто геометрической задаче нахождения экстремума интеграла (2), представляющей собой задачу на определение геодезических линий. Время при этом исключается из рассмотрения, и мы имеем экстремальную задачу, если оставить в стороне механическую интерпретацию интеграла (2). Некоторые авторы сохраняют за этим интегралом название действия вдоль траектории. Следует, однако, заметить, что рассматриваемый интеграл представляет собой действие в механическом смысле лишь при условии, что вводится гипотеза, согласно которой при движении материальной системы ее энергия остается постоянной.

Принцип Якоби показывает, что если связи и силовая функция не зависят от времени, то и определение траектории выполняется независимо от времени. Это свойство, не представляющееся очевидным в уравнениях Лагранжа, обнаруживается при первом взгляде, когда уравнения написаны в канонической форме. Из канонических уравнений видно также, что если траектория известна, то t определяется квадратурой (п° 450).