§ 2. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ, ЗАКРЕПЛЕННОГО В ОДНОЙ ИЗ ТОЧЕК СВОЕЙ ОСИ, ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ

367. Уравнение движения. Изменение угла наклона

Имеем попрежнему , т. е. проекция угловой скорости на ось Oz постоянна; мы будем предполагать, что она не равна нулю. Уравнениями движения являются уравнения, выведенные в конце п° 361, т. е.

где постоянные а и b зависят лишь от тела и от точки подвеса, в то время как постоянные интеграции определяются начальными данными.

Исключая из получим уравнение

Выполним ту же замену переменных, что и в предыдущем случае, т. е. положим

тогда уравнение примет вид:

где обозначает, как и раньше, полином третьей степени, который, в силу предыдущего уравнения, никогда не может сделаться отрицательным, так как он равен квадрату действительного числа.

Таким образом, задача приводится к интегрированию уравнения (2). Чтобы исследовать задачу, рассмотрим корни полинома . При этом мы не будем останавливаться на некоторых частных случаях, которые будут рассмотрены позднее. Это прежде всего случай, когда и постоянно и полином все время равен нулю, и, далее, случаи, когда равно

Отделим сначала корни функции . Эти корни все действительны и различны. Так как и есть косинус и заключается, следовательно, в промежутке , то можно указать значение и, которое принимает эта величина во время движения, лежащее внутри этого промежутка и такое, что положительно.

Если подставим в полином значения

то этот полином получит знаки:

Полином имеет поэтому три действительных и различных корня , такие, что

Отсюда следует, что и может изменяться лишь между их и и что полином допускает следующее разложение на положительные множители:

Так как и остается заключенным между их и , то угол нутации изменяется между двумя соответствующими значениями , заключенными в промежутке

В виду того что производная непрерывна, она может изменить знак, только обращаясь в нуль, а в нуль она обращается лишь при крайних значениях их и Следовательно, и колеблется все время между этими двумя значениями, так как переход от одного положения к другому требует лишь конечного промежутка времени. Действительно, пусть Т — продолжительность

одного полного колебания; тогда, интегрируя выражение полученное из уравнения (2), будем иметь

368. Движение оси симметрии тела. Три различных случая.

Чтобы изобразить наглядно движение оси симметрии Oz, применим способ, использованный в предыдущем параграфе. Опишем около вертикали два конуса вращения с вершиной в точке О: один с углом между образующей и осью конуса и другой с углом между образующей и осью Ось симметрии Oz тела будет постоянно заключена между этими двумя конусами. Если, кроме того, опишем из О как из центра сферу радиуса, равного единице, то она окажется пересеченной конусами по двум параллелям и осью Oz в точке z, принадлежащей промежуточной зоне между этими двумя окружностями. Движение точки по сфере будет представлять перемещение оси симметрии Oz тела.

Так как 9 изменяется между и в обоих случаях в разных направлениях, то кривая, описанная точкой z на сфере, все время извивается между двумя параллелями

Форма этой кривой зависит от значения, придаваемого постоянной , в соответствии с чем приходится рассматривать три различных случая.

1°. Если больше каждого из двух корней , то второе из уравнений (1), которое может быть написано в виде

показывает, что имеет постоянный знак. Следовательно, 6 все время изменяется в одном направлении. Из формул (2) и (3) получим

откуда заключаем, что обращается в нуль вместе с на обеих окружностях . Кривая, описанная точкой z на сфере, колеблется между двумя кругами, касаясь последовательно то одного, то другого (фиг. 52).

2°. Если заключено между двумя корнями , то изменяет знак [в силу уравнения (3)], когда и проходит через значение . Если провести на сфере параллель лежащую между окружностями плоскость которой отсекает на вертикали отрезок , то обращается в нуль на этой окружности. Кривая, описываемая точкой 2, пересекает окружность нормально, так как дробь становится бесконечно большой, согласно формуле (4). Кроме того, кривая будет касаться обеих окружностей С, и как это показано на фиг. 53.

Фиг. 52

Фиг. 53

3°. Если значение равно одному из корней то оно равно наибольшему из них. Действительно, так как отличается в этом случае от то выражение (2) для показывает, что должно быть равно а. При этом предположении имеем

Так как выражение в квадратных скобках отрицательно для и положительно для , то оно должно иметь корень, меньший а. Если за начальный момент возьмем тот, когда и равно этому корню а, то будем иметь . Мы в точности получаем при этом выражение на котором был основан анализ, выполненный в предыдущем параграфе, и приходим, следовательно, к тому случаю, когда начальная угловая скорость направлена по оси симметрии тела. В этом случае кривая, описываемая тачкой z на сфере, колеблется

между двумя окружностями С, и она касается нижней окружности, а в точках встречи с верхней окружностью имеет точки возврата, подходя к этой окружности под прямым углом.

Производная не изменяет знака, но обращается в нуль на верхней окружности. Азимут все время изменяется в одном и том же направлении.

Изменение азимута меняет направление только в случае 2°. Так как изменение определяет прецессионное движение, то это движение происходит в данном случае попеременно в обоих направлениях. Мы покажем, однако, что среднее прецессионное движение происходит все время в определенном направлении, одинаковом с направлением Для этого нужно определить значение прецессии в конце полного периода движения.

369. Направление среднего прецессионного движения в том случае, когда прецессия происходит попеременно в двух направлениях.

Пусть ОК есть кинетический момент. Покажем сначала, что в случае 2°, когда может обращаться в нуль, вертикальная плоскость Z, ОК, проходящая через вектор ОК (фиг. 54), вращается постоянно в одном и том же направлении вокруг оси Проекции кинетического момента ОЛ на оси равны соответственно (п° 361):

Предположим для определенности, что положительно. Тогда проекция положительна, и вектор К составляет острый угол с осью симметрии Oz тела. Напомним, что проекция тоже постоянна. Если (как мы предполагаем) обращается в нуль при некотором значении угла наклона f) оси Oz к вертикали, то при этом значения будем иметь, на основании предыдущих формул,

Таким образом, по абсолютной величине меньше (положительная величина), что показывает, что вектор К составляет с осью Oz угол, меньший, чем с вертикалью будет ли она направлена вверх или вниз. То же самое можно сказать относительно проекции К вектора К на вертикальную плоскость вектор К меньше отклонен от оси Oz, чем от вертикали снова независимо от того, направлена эта

вертикаль вверх или вниз. Отсюда, очевидно, следует, что векторы К и расположенные в плоскости находятся по одну сторону от вертикали и потому угол между двумя вертикальными полуплоскостями меньше прямого,

Фиг. 54

Отсюда получаем следующую теорему:

Если величина положительна, то кинетический момент К вращается постоянно в положительном направлении вокруг вертикали

Эта теорема есть следствие из теоремы моментов. Скорость точки К геометрически равна моменту веса приложенного в центре тяжести, относительно точки О. Этот момент перпендикулярен к вертикальной плоскости и направлен в сторону - положительного вращения этой полуплоскости вокруг . Он параллелен вектору КК, соединяющему концы векторов К и к. Точка К движется, таким образом, вокруг оси в направлении против вращения часовой стрелки,

Мы можем доказать. теперь следующую теорему о среднем прецессионном движении, упомянутую в конце предыдущего пункта.

Если положительно, то полная прецессия в течение периода положительна и не равна нулю.

Заметим прежде всего, что когда и проходит через свои крайние значения их и производная от и обращается в нуль; поэтому также обращается в нуль, а вместе с и составляющая угловой скорости, так же как и составляющая кинетического момента К по оси Кинетический момент К находится поэтому в рассматриваемые моменты времени в вертикальной полуплоскости . Таким образом, когда и изменяется от их до , две вертикальные полуплоскости совпадают в концах одного и того же полупериода, и так как угол между этими двумя полуплоскостями не может достигнуть прямого, они необходимо оказываются повернутыми на один и тот же угол. Этот поворот, в силу предыдущей теоремы, происходит в положительном направлении.

Если бы было отрицательно, то направления вращения плоскостей, очевидно, изменились бы на прямо противоположные. Мы можем поэтому сформулировать следующую теорему:

В том случае, когда прецессионное движение изменяет свое направление в течение периода, прецессия за полный период не может быть равна нулю и имеет направление угловой скорости тела вокруг своей оси ОГ.