Главная > Лекции по теоретической механике, Т.2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ, ЗАКРЕПЛЕННОГО В ОДНОЙ ИЗ ТОЧЕК СВОЕЙ ОСИ, ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ

367. Уравнение движения. Изменение угла наклона

Имеем попрежнему , т. е. проекция угловой скорости на ось Oz постоянна; мы будем предполагать, что она не равна нулю. Уравнениями движения являются уравнения, выведенные в конце п° 361, т. е.

где постоянные а и b зависят лишь от тела и от точки подвеса, в то время как постоянные интеграции определяются начальными данными.

Исключая из получим уравнение

Выполним ту же замену переменных, что и в предыдущем случае, т. е. положим

тогда уравнение примет вид:

где обозначает, как и раньше, полином третьей степени, который, в силу предыдущего уравнения, никогда не может сделаться отрицательным, так как он равен квадрату действительного числа.

Таким образом, задача приводится к интегрированию уравнения (2). Чтобы исследовать задачу, рассмотрим корни полинома . При этом мы не будем останавливаться на некоторых частных случаях, которые будут рассмотрены позднее. Это прежде всего случай, когда и постоянно и полином все время равен нулю, и, далее, случаи, когда равно

Отделим сначала корни функции . Эти корни все действительны и различны. Так как и есть косинус и заключается, следовательно, в промежутке , то можно указать значение и, которое принимает эта величина во время движения, лежащее внутри этого промежутка и такое, что положительно.

Если подставим в полином значения

то этот полином получит знаки:

Полином имеет поэтому три действительных и различных корня , такие, что

Отсюда следует, что и может изменяться лишь между их и и что полином допускает следующее разложение на положительные множители:

Так как и остается заключенным между их и , то угол нутации изменяется между двумя соответствующими значениями , заключенными в промежутке

В виду того что производная непрерывна, она может изменить знак, только обращаясь в нуль, а в нуль она обращается лишь при крайних значениях их и Следовательно, и колеблется все время между этими двумя значениями, так как переход от одного положения к другому требует лишь конечного промежутка времени. Действительно, пусть Т — продолжительность

одного полного колебания; тогда, интегрируя выражение полученное из уравнения (2), будем иметь

368. Движение оси симметрии тела. Три различных случая.

Чтобы изобразить наглядно движение оси симметрии Oz, применим способ, использованный в предыдущем параграфе. Опишем около вертикали два конуса вращения с вершиной в точке О: один с углом между образующей и осью конуса и другой с углом между образующей и осью Ось симметрии Oz тела будет постоянно заключена между этими двумя конусами. Если, кроме того, опишем из О как из центра сферу радиуса, равного единице, то она окажется пересеченной конусами по двум параллелям и осью Oz в точке z, принадлежащей промежуточной зоне между этими двумя окружностями. Движение точки по сфере будет представлять перемещение оси симметрии Oz тела.

Так как 9 изменяется между и в обоих случаях в разных направлениях, то кривая, описанная точкой z на сфере, все время извивается между двумя параллелями

Форма этой кривой зависит от значения, придаваемого постоянной , в соответствии с чем приходится рассматривать три различных случая.

1°. Если больше каждого из двух корней , то второе из уравнений (1), которое может быть написано в виде

показывает, что имеет постоянный знак. Следовательно, 6 все время изменяется в одном направлении. Из формул (2) и (3) получим

откуда заключаем, что обращается в нуль вместе с на обеих окружностях . Кривая, описанная точкой z на сфере, колеблется между двумя кругами, касаясь последовательно то одного, то другого (фиг. 52).

2°. Если заключено между двумя корнями , то изменяет знак [в силу уравнения (3)], когда и проходит через значение . Если провести на сфере параллель лежащую между окружностями плоскость которой отсекает на вертикали отрезок , то обращается в нуль на этой окружности. Кривая, описываемая точкой 2, пересекает окружность нормально, так как дробь становится бесконечно большой, согласно формуле (4). Кроме того, кривая будет касаться обеих окружностей С, и как это показано на фиг. 53.

Фиг. 52

Фиг. 53

3°. Если значение равно одному из корней то оно равно наибольшему из них. Действительно, так как отличается в этом случае от то выражение (2) для показывает, что должно быть равно а. При этом предположении имеем

Так как выражение в квадратных скобках отрицательно для и положительно для , то оно должно иметь корень, меньший а. Если за начальный момент возьмем тот, когда и равно этому корню а, то будем иметь . Мы в точности получаем при этом выражение на котором был основан анализ, выполненный в предыдущем параграфе, и приходим, следовательно, к тому случаю, когда начальная угловая скорость направлена по оси симметрии тела. В этом случае кривая, описываемая тачкой z на сфере, колеблется

между двумя окружностями С, и она касается нижней окружности, а в точках встречи с верхней окружностью имеет точки возврата, подходя к этой окружности под прямым углом.

Производная не изменяет знака, но обращается в нуль на верхней окружности. Азимут все время изменяется в одном и том же направлении.

Изменение азимута меняет направление только в случае 2°. Так как изменение определяет прецессионное движение, то это движение происходит в данном случае попеременно в обоих направлениях. Мы покажем, однако, что среднее прецессионное движение происходит все время в определенном направлении, одинаковом с направлением Для этого нужно определить значение прецессии в конце полного периода движения.

369. Направление среднего прецессионного движения в том случае, когда прецессия происходит попеременно в двух направлениях.

Пусть ОК есть кинетический момент. Покажем сначала, что в случае 2°, когда может обращаться в нуль, вертикальная плоскость Z, ОК, проходящая через вектор ОК (фиг. 54), вращается постоянно в одном и том же направлении вокруг оси Проекции кинетического момента ОЛ на оси равны соответственно (п° 361):

Предположим для определенности, что положительно. Тогда проекция положительна, и вектор К составляет острый угол с осью симметрии Oz тела. Напомним, что проекция тоже постоянна. Если (как мы предполагаем) обращается в нуль при некотором значении угла наклона f) оси Oz к вертикали, то при этом значения будем иметь, на основании предыдущих формул,

Таким образом, по абсолютной величине меньше (положительная величина), что показывает, что вектор К составляет с осью Oz угол, меньший, чем с вертикалью будет ли она направлена вверх или вниз. То же самое можно сказать относительно проекции К вектора К на вертикальную плоскость вектор К меньше отклонен от оси Oz, чем от вертикали снова независимо от того, направлена эта

вертикаль вверх или вниз. Отсюда, очевидно, следует, что векторы К и расположенные в плоскости находятся по одну сторону от вертикали и потому угол между двумя вертикальными полуплоскостями меньше прямого,

Фиг. 54

Отсюда получаем следующую теорему:

Если величина положительна, то кинетический момент К вращается постоянно в положительном направлении вокруг вертикали

Эта теорема есть следствие из теоремы моментов. Скорость точки К геометрически равна моменту веса приложенного в центре тяжести, относительно точки О. Этот момент перпендикулярен к вертикальной плоскости и направлен в сторону - положительного вращения этой полуплоскости вокруг . Он параллелен вектору КК, соединяющему концы векторов К и к. Точка К движется, таким образом, вокруг оси в направлении против вращения часовой стрелки,

Мы можем доказать. теперь следующую теорему о среднем прецессионном движении, упомянутую в конце предыдущего пункта.

Если положительно, то полная прецессия в течение периода положительна и не равна нулю.

Заметим прежде всего, что когда и проходит через свои крайние значения их и производная от и обращается в нуль; поэтому также обращается в нуль, а вместе с и составляющая угловой скорости, так же как и составляющая кинетического момента К по оси Кинетический момент К находится поэтому в рассматриваемые моменты времени в вертикальной полуплоскости . Таким образом, когда и изменяется от их до , две вертикальные полуплоскости совпадают в концах одного и того же полупериода, и так как угол между этими двумя полуплоскостями не может достигнуть прямого, они необходимо оказываются повернутыми на один и тот же угол. Этот поворот, в силу предыдущей теоремы, происходит в положительном направлении.

Если бы было отрицательно, то направления вращения плоскостей, очевидно, изменились бы на прямо противоположные. Мы можем поэтому сформулировать следующую теорему:

В том случае, когда прецессионное движение изменяет свое направление в течение периода, прецессия за полный период не может быть равна нулю и имеет направление угловой скорости тела вокруг своей оси ОГ.

1
Оглавление
email@scask.ru