ГЛАВА XIV. ТЕОРИЯ УДАРА. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ

§ 1. УДАРЫ, ПРИЛОЖЕННЫЕ К ТОЧКЕ

303. Явление удара.

Если тело внезапно подвергается действию очень больших сил в течение весьма малого промежутка времени, то говорят, что оно испытывает удар. За время удара тело перемещается настолько мало, что перемещение его совершенно незаметно. Скорости точек тела, наоборот, изменяются значительно, так что в момент удара происходит резкое изменение в состоянии скоростей.

Если, например, стальной шарик падает на стальную плитку, то при соприкосновении с плиткой шарик испытывает удар, после которого он от нее отскакивает, т. е. направление его скорости мгновенно изменяется. Продолжительность удара весьма мала и представляет собой не что иное, как продолжительность соприкосновения обоих тел.

Положение шарика почти не изменяется за время этого соприкосновения.

Прежде считали, что силы, действующие во время удара, сообщают телам конечные скорости за промежуток времени, строго равный нулю, и поэтому им дали название мгновенных сил. Однако успехи, достигнутые в динамике и в точном естествознания, заставили отказаться от этой точки зрения. Установлено, что основные законы механики приложимы и к силам, действующим при ударе, как и ко всем другим. Только благодаря невозможности определить истинную продолжительность удара и последовательное изменение величины и направления ударных сил в течение удара, пришлось ввести при рассмотрении этих сил вместо действительной меры их интенсивности только их суммарный и окончательный эффект, как это будет видно из дальнейшего изложения.

304. Полный импульс силы.

Пусть х, у, z — координаты материальной точки массы от, находящейся под действием

силы F, проекции которой на оси равны X, Y, Z; уравнения движения точки имеют вид:

Каково бы ни было движение точки, количества, входящие в эти уравнения, представляют собой во время движения функции времени t. Уравнения движения после умножения на и интегрирования от до дают:

Полным импульсом силы F за промежуток времени называют вектор, имеющий проекциями на три оси количества:

При таком определении три предыдущих уравнения выражают следующую теорему:

Геометрическое изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени (или приобретенное количество движения) равно полному импульсу силы, действующей на точку, за тот же промежуток.

305. Допущения, принимаемые в теории удара.

Предыдущая теорема имеет совершенно общий характер. Предположим теперь, что промежуток времени очень мал; если есть обыкновенная сила, так что ее проекции X, Y, Z можно рассматривать как конечные величины, и если есть бесконечно малое количество первого порядка, то три проекции полного импульса будут также бесконечно малы; поэтому скорость точки не изменится заметно, так что ее изменением можно будет пренебречь. Наоборот, если сила F очень велика, так что ее можно считать бесконечно большой величиной первого порядка.

то проекции полного импульса будут иметь конечные значения и скорость точки изменится скачком от одного конечного значения к другому конечному значению. И в этом случае точка попрежнему переместится очень мало в течение рассматриваемого промежутка времени, так как скорость остается конечной. Перемещение точки можно рассматривать как бесконечно малую величину первого порядка, которой можно пренебречь. Это именно и предполагают, когда речь идет о силах, развивающихся при ударе.

Таким образом, продолжительность удара предполагается достаточно малой для того, чтобы можно было принять следующие два допущения:

1° Точка, испытывающая удар, рассматривается в течение удара как неподвижная, между тем как ее скорость может резко измениться по величине и направлению.

2° Действием обыкновенных сил во время удара можно пренебречь. Под обыкновенными силами мы понимаем здесь такие силы, действие которых продолжается непрерывно и оказывается заметным лишь по истечении известного промежутка времени. Таковы силы тяжести, всемирное тяготение, электрические и магнитные силы, центробежные силы и т. д. Ударные силы возникают при столкновениях, взрывах; эти силы, вообще говоря, вызываются интенсивными молекулярными действиями.

306. Определение вектора удара.

Когда скорость точки М внезапно изменяется под действием ударной силы F, то говорят, что точка М подвергается действию ударного импульса или испытывает удар. Ударный импульс или удар можно представить вектором Р, приложенным к точке, равным полному импульсу силы F и имеющим, следовательно, проекциями на оси три следующих интеграла:

Сам вектор-удар P (или полный импульс) силы F выражается геометрическим интегралом (пределом геометрической суммы)

Изменение количества движения (или приобретенное количество движения) связано с вектором-ударом следующими формулами (п° 304):

или в векторной форме

Если обозначить через геометрическое приращение количества движения за промежуток времени или количество дзижения, приобретенное при ударе, то предыдущее равенство может быть представлено в более короткой фэрме:

Отсюда видно, что удар имеет размерность количества движения.

Именно вектор-удар (или полный импульс) и является мерой суммарного полного эффекта, производимого ударной силой в течение очень короткого времени ее действия. К этому суммарному эффекту и приводят действующую ударную силу при изучении явлений удара.

Предыдущие уравнения можно выразить следующей теоремой:

Количество движения, приобретенное точкой, испытывающей удар, геометрически равно этому удару.

307. Сложение ударов.

Пусть F, F, F" — ударные силы, действующие одновременно на одну и ту же точку массы , и R — их равнодействующая. Пусть, далее, проекции на ось этих сил. Имеем

Таким образом, проекция на ось удара, произведенного силой R, равна сумме проекций ударов, произведенных соответственно силами То же соотношение имеет место

и для проекций на две другие оси. Отсюда имеем следующую теорему:

Удары складываются как силы: удар равнодействующей равен геометрической сумме ударов составляющих.

Если точка находится одновременно под действием нескольких ударных сил, то эти силы можно заменить их равнодействующей. Теорема, которой оканчивается предыдущий пункт, получает в случае действия нескольких сил следующую форму:

Количество движения, приобретенное точкой, испытывающей несколько ударов, геометрически равно результирующей этих ударов.

Если обозначить, как выше, через количество движения, приобретенное точкой, испытывающей удар, то эта теорема может быть выражена векторным уравнением:

или тремя алгебраическими соотношениями: