§ 4. ПРИЛОЖЕНИЕ. УДАР ДВУХ ТЕЛ

314. Прямой удар двух шаров.

Предположим, что два шара с массами движутся поступательно и что их центры G и С перемещаются со скоростями (положительными или отрицательными) вдоль линии центров, которую мы примем за ось х.

Если шары встречаются, то происходит удар, и, так как шары не вращаются, этот удар будет прямым. После удара центры шаров будут двигаться по той же линии вследствие симметрии, но со скоростями и отличными от их скоростей до удара.

Удар сопровождается деформацией шаров, возрастающей до определенного максимума, после чего шары возвращаются более или менее точно к своей первоначальной форме, в зависимости от упругости того материала, из которого они сделаны.

Если сталкивающиеся тела абсолютно не упруги, то наибольшая достигнутая при ударе деформация полностью сохраняется и продолжает существовать после удара: такие тела оказывают сопротивление деформации, но не проявляют никакого стремления возвращаться к своей первоначальной форме. Два абсолютно неупругих шара после удара не отделяются друг от друга и продолжают двигаться дальше как одно твердое тело. Наоборот, если тела абсолютно упруги, они вновь принимают свою первоначальную форму. К таким телам приложима теорема энергии, и после того как они возвратились к своей первоначальной форме, уже не может быть никакой потери живой силы.

315. Удар двух абсолютно неупругих тел.

Теорема сохранения количества движения системы приложима к системе,

состоящей из двух шаров, и дает первое соотношение между скоростями их центров до и после удара. Имеем

Это соотношение имеет общий характер и может применяться какова бы ни была степень упругости обоих тел.

Для определения скоростей после удара необходимо иметь второе соотношение. Если шары абсолютно неупруги, то после удара они остаются в соприкосновении, и скорости будут одинаковы. Поэтому из предыдущего соотношения получим

В этом случае можно проверить справедливость теоремы Карно. В результате удара появляется новая связь: оба шара оказываются соединенными в одно твердое тело. Поэтому здесь должна иметь место потеря живой силы системы. Эта потеря равна

или, если заменить его значением, полученным выше, —

На основании теоремы Карно эта потерянная живая сила должна быть равна живой силе, соответствующей потерянным скоростям, т. е.

В этом можно непосредственно убедиться, замечая, что

Обратно, если предварительно допустим справедливость теоремы Карно, то можно вывести, что

316. Абсолютно упругие тела.

Соотношение (1) предыдущего пункта имеет место и в этом случае. Второе соотношение получим, замечая, что так как тела абсолютно упруги, то живая сила имеет одно и то же значение как до удара, так и после него, что выражается уравнением:

Представим уравнения (1) и (2) в виде

и разделим первое на второе почленно; получим

откуда

Это уравнение показывает, что относительная скорость шаров при ударе не изменяется по величине, но меняет свой знак.

Значения и легко получаются из системы уравнений (1) и (3), линейных относительно этих неизвестных. Рассмотрим отдельно случай, когда массы обоих шаров одинаковы. Уравнения принимают тогда следующий вид:

откуда получаем

Таким образом, если два абсолютно упругих шара, массы которых одинаковы, испытывают прямой удар, то они обмениваются своими скоростями, так что кажется, что один стал на место другого. В частности, если один из шаров до удара неподвижен, то после удара неподвижным окажется другой шар. Этот опыт легко осуществить при помощи двух шаров из слоновой кости, подвешенных на двух одинаковой длины нитях и касающихся друг друга в положении равновесия. Один из шаров удаляют от положения равновесия и потом отпускают так что он под действием своего веса возвращается в прежнее

положение и производит удар по другому шару. Шар, получивший удар, получает и движение ударившего шара, который, в свою очередь, остается в покое.

317. Тела не абсолютно упругие.

Если два тела абсолютно упруги, то удар изменяет направление их относительной скорости, не изменяя ее величины; если тела совершенно лишены упругости, то после удара их относительная скорость равна нулю. Если же тела не абсолютно упруги, то удар изменяет направление их относительной скорости, величина же этой скорости уменьшается в определенном отношении s. Так, имеем

Крайние значения соответствуют случаям тел абсолютно неупругих или абсолютно упругих.

Если s имеет значение, промежуточное между этими двумя пределами, то значения скоростей после удара можно вычислить, рассматривая совместно с предыдущим уравнением другое, показывающее, что количество движения при ударе сохраняется, т. е. уравнение

В этом случае всегда имеется потеря живой силы, равная

это выражение после замены их значениями, вычисленными только что указанным здесь способом, и некоторых преобразований принимает вид:

Полученное выражение всегда положительно,