ГЛАВА XIII. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ В ОТНОСИТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ОКОЛО ЦЕНТРА ИНЕРЦИЙ

§ 1. КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ И ЖИВАЯ СИЛА В ОТНОСИТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ

291. Определение относительного движения около центра инерции.

Движением около центра инерции называют относительное движение материальной системы по отношению к трем осям постоянного направления, проходящим постоянно через центр инерции. Эти три оси движутся поступательно со скоростью, все время равной скорости центра инерции.

Мы покажем в этой главе, что три общие теоремы динамики (теоремы моментов, площадей и живой силы) имеют место и в относительном движении системы около ее центра инерции, если на систему действуют те же реальные силы, которыми определяется ее абсолютное движение.

При изложении будем пользоваться следующими обозначениями. Через Oxyz будем обозначать неподвижные оси, через — абсолютные координаты точки М и через — координаты центра инерции Г. Через xyz будем обозначать подвижные оси, проходящие через центр инерции, и через — координаты точки по отношению к этим осям. Абсолютные и относительные координаты связаны формулами:

Обозначая через М массу системы, будем иметь:

а принимая во внимание, что центр инерции Г есть начало подвижной системы осей, получим

292. Свойства количества движения системы.

Пусть есть абсолютная скорость и — относительная скорость точки М. Количество абсолютного движения системы есть

количество относительного движения системы — 2 то. Для этих величин справедливы следующие теоремы:

1°. Количество относительного движения системы в ее движении около центра инерции равно нулю.

В самом деле, продифференцировав уравнения (3) по t, получим

т. е.

Таким образом, количества относительного движения различных точек образуют систему векторов, главный вектор которой равен нулю.

2°. Количество абсолютного движения системы равно количеству движения центра инерции в предположении, что в нем сосредоточена вся масса системы.

Пусть и — абсолютная скорость центра инерции, т. е. скорость его переносного движения. Тогда имеем

Умножим обе части этого равенства на и просуммируем по всем точкам системы; получим, принимая во внимание, что

что и доказывает теорему.

293. Свойства относительного кинетического момента.

Количества относительного движения представляют собой систему векторов, результирующий вектор которой равен нулю. Поэтому, на основании общей теории векторов, результирующий момент количеств относительного движения один и тот же для всех точек пространства. Результирующий момент количеств относительного движения по отношению к какой-нибудь точке называется относительным кинетическим моментом в этой точке. Имеем, таким образом, следующую теорему:

1°. Относительный кинетический момент материальной системы один и тот же для всех точек пространства.

Количество абсолютного движения точки есть сумма количества переносного движения точки и количества ее

относительного движения . Векторы параллельны между собой и пропорциональны массам точек их приложения, они имеют поэтому равнодействующую приложенную в центре инерции Г. Результирующий момент количеств абсолютного движения равен сумме результирующего момента векторов и результирующего момента векторов Последний равен моменту равнодействующей векторов приложенной в центре инерции. Отсюда имеем следующую теорему: 2°. Абсолютный кинетический момент по отношению к точке О равен сумме относительного кинетического момента (одинакового для всех точек пространства) и момента по отношению к точке О количества движения центра инерции, в предположении, что в нем сосредоточена вся масса системы.

294. Свойство живой силы. Теорема Кёнига.

Живая сила материальной системы равна сумме живой силы системы в ее относительном движении около центра инерции и живой силы центра инерции в предположении, что в нем сосредоточена вся масса системы.

Если продифференцируем первую из формул (1), то получим

откуда

Но , а из соотношений (3) имеем:

Поэтому

Сложим с этим равенством два других аналогичных уравнения для осей у и z и разделим результат на 2; тогда, замечая,

получим:

что и представляет собой теорему Кёнига.