Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА XVIII. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ, ЗАКРЕПЛЕННОГО В ОДНОЙ ИЗ ТОЧЕК ЕГО ОСИ§ 1. НАЧАЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ ПРОИСХОДИТ ВОКРУГ ОСИ ТЕЛА361. Определение трех первых интегралов движения в общем случае.Рассмотрим однородное тяжелое тело вращения, движущееся вокруг точки О своей оси, отличной от центра тяжести Г. Возьмем в качестве неподвижных осей координат три прямоугольные оси Уравнения Эйлера, определяющие движение, зависят лишь от главного момента внешних сил относительно неподвижной точки. Реакция в неподвижной точке проходит через эту точку, и потому момент ее равен нулю; остается принять во внимание только вес. Если М — масса тела, то его вес представляет собой вертикальную силу В этом случае имеем три первых интеграла, достаточные для определения движения. Первый из них выводится из третьего уравнения Эйлера. В самом делэ, так как вес Р пересекает ось z, то его момент
откуда
Таким образом, проекция мгновенной угловой скорости на ось симметрии тела постоянна. Следует заметить, что это заключение имеет место не только в случае действия силы тяжести: оно применимо каждый раз, когда твердое тело вращения находится под действием сил, приложенных к оси симметрии тела, так как это достаточно для того, чтобы Второй интеграл движения находим, применяя теорему моментов по отношению к неподвижной вертикальной оси Рассмотрим для этого систему прямоугольных осей
Так как эти три оси представляют собой главные оси инерции и соответствующие моменты инерции суть А, А и С, то проекции кинетического момента на эти три направления равны соответственно:
Наконец, проекция кинетического момента на ось
Так как эта проекция постоянна, то мы имеем второй интеграл движения
Третий интеграл движения получаем на основании теоремы живых сил. Пусть
С другой стороны, удвоенная живая сила тела равна
Интеграл живых сил, представляющий собой третий искомый интеграл, получает поэтому вид:
где h есть постоянная живых сил. Добавим к уравнениям (2) и (3) соотношение, в котором
Имеем, таким образом, систему трех совместных дифференциальных уравнений первого порядка относительно трех углов: Чтобы упростить запись, введем две положительные постоянные а и b при помощи формул
Следует обратить внимание на размерности: а — величина, обратная времени, и поэтому имеет размерность угловой скорости; b — отвлеченная безразмерная величина. Постоянные а и b зависят лишь от тела и от выбора точки подвеса, но не от движения. Введем теперь две постоянные интегрирования
Мы рассмотрим эти общие уравнения в следующем параграфе. Здесь же мы начнем с изучения частного случая, когда начальное вращение происходит вокруг оси тела, что определяет значения постоянных интегрирования. 362. Уравнения движения в случае, когда начальное вращение происходит вокруг оси тела.Пусть предполагается отличным от
Если Исключим
Положим
предыдущее уравнение приводится к виду
Правая часть есть полином Корень полином
и потому может быть представлен в виде
Второе из уравнений (7) дает после этого
а из уравнения (4) имеем
Таким образом, определение величин 363. Исследование движения.Рассмотрим, как изменяется
Уравнению (8) можно было бы удовлетворить, полагая и постоянно равным
Фиг. 50 Чтобы представить движение оси Oz тела, опишем из точки О как из центра сферу с радиусом, равным единице, потом из той же точки опишем как из вершины два конуса вращения вокруг вертикальной оси Ось симметрии Oz тела пересекает сферу в точке Мы покажем, что эта кривая касается нижней окружности Действительно, и (или
Эта производная бесконечна на Так как и изменяется между
имеет знак Изменение угла Угол
который имеет конечную величину и представляет собой, вообще говоря, эллиптический интеграл. Интегрирование уравнения (8), приводящее к решению задачи, выполняется в эллиптических функциях и выходит за рамки этой книги. Однако, если начальная угловая скорость 364. Приближенное интегрирование в случае, когда начальная угловая скорость r0 очень велика.Предположим, что постоянные а и b, зависящие от тела, имеют конечные значения Покажем сначала, что если Корни
где через
т. е. Из уравнения (1) получаем при
Это выражение показывает, что С другой стороны, сумма их
откуда видно (так как их меньше 1), что и есть весьма большая величина второго порядка. Уравнение движения, представляющее собой уравнение (8) п° 362, может быть написано в виде
где
или, подставляя и из (15),
Отсюда следует, что k — весьма большая величина первого порядка, равная Уравнение (16) можно было бы проинтегрировать в конечной форме, если бы k было постоянно. Это условие на самом деле не имеет места, но можно считать, что оно выполняется приближенно с большой точностью. Действительно, k заключено между двумя постоянными значениями
Разность значений
откуда
Поэтому будем интегрировать уравнение (16) так, как если бы k было постоянно, но оценивая полученное при этом приближение. Для этого выполним замену переменных
откуда
Уравнение (16) приводится при этом к виду
Проинтегрируем это соотношение, учитывая, что X обращается в нуль вместе с t и что k заключено между
Значение и, определяющее нутацию, находится из уравнения (20), используя которое, мы приходим к соотношению
где k может содержать ошибку третьего порядка, и потому и получается приближенно с точностью до малых пятого порядка. Перейдем теперь к определению прецессии
на основании формул (22) и (3), получим
Эта формула предполагает погрешность третьего порядка в величине k и потому погрешность четвертого порядка для результат получится, если пренебречь членами третьего порядка. Действительно, можно, допуская ошибку третьего порядка в
Проинтегрируем это соотношение, предполагая, что
причем ошибка будет малой величиной третьего порядка, пока t остается конечным. Порядок малости понизится на единицу, если t будет очень большой величиной первого порядка. С. другой стороны, с точностью до величин первого порядка имеем
Остается еще найти угол собственного вращения f. На основании уравнения (11) предыдущего пункта имеем
Уравнение (23) показывает, что
получим ошибку третьего порядка. Выполним интегрирование, полагая, что
или, подставляя (12),
Найдем с той же степенью приближения значение угла
Пусть
следовательно, с точностью до ошибки второго порядка получим
Отсюда, пренебрегая ошибкой третьего порядка в 6, будем иметь
Пользуясь снова формулой конечных приращений, находим с точностью до ошибки второго порядка в
отсюда и из формулы (14) с точностью до ошибки четвертого порядка имеем
Подставляя это значение в предыдущую формулу, находим окончательно с точностью до ошибки третьего порядка в
Формулы (23), (24) и (26) определяют Постоянные
365. Выводы из формул предыдущего пункта.В случае, когда угловая скорость Формула (26) показывает, что угол 6, изменение которого определяет нутацию, отличается от своего начального значения
Продолжительность
и, следовательно, при такой степени приближения не зависит от начального значения Угол прецессии
не зависящей при такой степени приближения от начального наклона оси Oz к вертикали. Прецессия происходит в сторону вращения О к Г). Продолжительность полного обращения оси тела вокруг вертикали также не зависит от наклона оси тела. Она равна
Наконец, угол собственного вращения
Эта угловая скорость отличается от Кинематическое представление. - Назовем истинной осью ось симметрии тела и средней осью фиктивную ось, направление которой определяется средними значениями
Уравнения (27) и (23) могут тогда быть написаны в виде:
и выражают следующую теорему (с точностью до величин второго порядка): Истинная ось тела составляет со средней осью постоянный угол
представляющий собой малую величину второго порядка, и вращается равномерно вокруг средней оси, в то время как эта последняя сама вращается равномерно вокруг вертикали (в ту же сторону), сохраняя постоянный угол наклона Истинная ось тела удаляется от средней оси лишь на малую величину второго порядка. Отсюда, следует, что если велико, то кажущееся движение тела совпадает со средним движением. При этом единственным заметным движением тела вращения является весьма медленное коническое движение его оси вокруг вертикали. В этом движении ось тела совершает один полный оборот вокруг вертикали за время Во всех этих вычислениях мы предполагали, что ось Oz направлена от неподвижной точки к центру тяжести. В противном случае знак
Фиг. 51 Эти результаты можно проверить на аппарате Робера. Этот прибор состоит из стальной оси Oz, оканчивающейся остриями на своих концах и опирающейся одним из них О о дно углубления, выточенного в верхнем конце медной колонки С. Такое устройство обеспечивает неподвижность острия (фиг. 51). С этой осью связано бронзовое кольцо Т, укрепленное на оси таким образом, что при помощи груза В, скользящего вдоль оси, центр тяжести прибора можно по желанию поместить на оси по ту или другую сторону от точки О. Кольцу сообщают быстрое вращение посредством шнурка, придав оси наклонное начальное положение. Затем прибор предоставляют действию силы тяжести. При этом мы видим, что ось тела совершает коническое движение вокруг вертикали. Направление этого движения можно изменять по желанию, действуя на груз таким образом, чтобы центр тяжести прибора поднимался выше точки опоры или опускался ниже ее. 366. Численный пример.Тор, образующий круг которого имеет радиус Определить амплитуду и продолжительность Т нутации, а также время Т, необходимое для полного оборота оси тора вокруг вертикали. Арматурой, связывающей тор с осью, пренебречь. Определим сначала два момента инерции: С — относительно оси вращения (оси фигуры) и А — относительно оси, перпендикулярной к первой и проходящей через точку опоры. Чтобы получить А, нужно прибавить величину 2 к моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр тяжести. Эти моменты даются формулами п° 332. Выберем в качестве единицы длины сантиметр; тогда будем иметь
За единицу времени примем секунду. Тогда
Продолжительность нутации (полный период) равна, по формуле (6),
Амплитуда нутации, по формуле (17), где P=Mg, равна
Так как
Даже если Наконец, продолжительность 27 одного оборота оси вокруг вертикали, вызванного прецессией, равна, по формуле (19),
Продолжительность полного оборота составляет, таким образом, около 5 минут.
|
1 |
Оглавление
|