ГЛАВА XVIII. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ, ЗАКРЕПЛЕННОГО В ОДНОЙ ИЗ ТОЧЕК ЕГО ОСИ

§ 1. НАЧАЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ ПРОИСХОДИТ ВОКРУГ ОСИ ТЕЛА

361. Определение трех первых интегралов движения в общем случае.

Рассмотрим однородное тяжелое тело вращения, движущееся вокруг точки О своей оси, отличной от центра тяжести Г. Возьмем в качестве неподвижных осей координат три прямоугольные оси так чтобы ось была вертикальна и направлена вверх. Далее, в качестве подвижных осей, связанных с телом, возьмем три главные оси инерции в точке О: ось Oz направим по оси симметрии тела к центру тяжести Г, две другие выберем произвольно в плоскости, нормальной к оси симметрии тела. Моменты инерции относительно осей Ох, Оу и Oz будут соответственно В = А.

Уравнения Эйлера, определяющие движение, зависят лишь от главного момента внешних сил относительно неподвижной точки. Реакция в неподвижной точке проходит через эту точку, и потому момент ее равен нулю; остается принять во внимание только вес. Если М — масса тела, то его вес представляет собой вертикальную силу приложенную к центру тяжести Г. Других сил нет.

В этом случае имеем три первых интеграла, достаточные для определения движения. Первый из них выводится из третьего уравнения Эйлера. В самом делэ, так как вес Р пересекает ось z, то его момент равен нулю. Третье уравнение Эйлера (учитывая, что ) приводится поэтому к виду:

откуда

Таким образом, проекция мгновенной угловой скорости на ось симметрии тела постоянна.

Следует заметить, что это заключение имеет место не только в случае действия силы тяжести: оно применимо каждый раз, когда твердое тело вращения находится под действием сил, приложенных к оси симметрии тела, так как это достаточно для того, чтобы было равно нулю.

Второй интеграл движения находим, применяя теорему моментов по отношению к неподвижной вертикальной оси . Вес параллелен поэтому его момент относительно этой оси равен нулю. Отсюда заключаем, что проекция кинетического момента К на ось постоянна. Вычислим эту проекцию.

Рассмотрим для этого систему прямоугольных осей в которой ось есть, как прежде (п° 343), пересечение плоскостей неподвижной и подвижной Составляющие вращения по этим осям равны соответственно (п° 344):

Так как эти три оси представляют собой главные оси инерции и соответствующие моменты инерции суть А, А и С, то проекции кинетического момента на эти три направления равны соответственно:

Наконец, проекция кинетического момента на ось равна (так как положение триэдра Oxyz определено углами Эйлера):

Так как эта проекция постоянна, то мы имеем второй интеграл движения

(2)

Третий интеграл движения получаем на основании теоремы живых сил. Пусть есть постоянное расстояние точки опоры О от центра тяжести Г. Это — положительная величина, представляющая собой относительную координату центра тяжести Г. Если — вертикальная координата той же точки, . Следовательно, вес имеет силовую функцию

С другой стороны, удвоенная живая сила тела равна

Интеграл живых сил, представляющий собой третий искомый интеграл, получает поэтому вид:

где h есть постоянная живых сил.

Добавим к уравнениям (2) и (3) соотношение, в котором выражено посредством углов Эйлера (п° 344),

Имеем, таким образом, систему трех совместных дифференциальных уравнений первого порядка относительно трех углов: (угол собственного вращения), (угол прецессии) и (угол нутации). Эти три уравнения и определяют движение.

Чтобы упростить запись, введем две положительные постоянные а и b при помощи формул

Следует обратить внимание на размерности: а — величина, обратная времени, и поэтому имеет размерность угловой скорости; b — отвлеченная безразмерная величина.

Постоянные а и b зависят лишь от тела и от выбора точки подвеса, но не от движения.

Введем теперь две постоянные интегрирования которые будут зависеть от начальных данных движения. Уравнения (3) и (2) примут тогда вид:

Мы рассмотрим эти общие уравнения в следующем параграфе. Здесь же мы начнем с изучения частного случая, когда начальное вращение происходит вокруг оси тела, что определяет значения постоянных интегрирования.

362. Уравнения движения в случае, когда начальное вращение происходит вокруг оси тела.

Пусть есть начальный угол наклона оси тела Oz к вертикали (угол наклона

предполагается отличным от Начальные значения равны нулю по предположению, поэтому равны нулю и начальные значения величин Начальные значения левых частей уравнений (6) равны нулю, поэтому постоянные а и [5 имеют одно и то же значение Уравнение (6) получает вид:

Если (что соответствует случаю, когда начальная угловая скорость равна нулю), то последнее уравнение дает таким образом, угол сохраняет постоянное значение, и ось тела движется в вертикальной плоскости. Мы имеем движение физического маятника. Оставим в стороне этот уже изученный случай и в дальнейшем будем предполагать, что не равно нулю.

Исключим из двух уравнений (7); получим

Положим

предыдущее уравнение приводится к виду

Правая часть есть полином третьей степени, имеющий корень . Кроме того, должны существовать два других действительных корня, представляющих собой корни полинома второй степени, заключенного в квадратные скобки.

Корень лежит между — 1 и +1 (пределы исключаются). Выражение в квадратных скобках принимает знак — для и знак для и для и знак для . Квадратный многочлен в скобках имеет поэтому корень их между — 1 и и корень . Эти два корня являются корнями квадратного уравнения и, следовательно, находятся элементарными вычислениями. Таким образом,

полином имеет три корня , удовлетворяющие неравенствам

и потому может быть представлен в виде

Второе из уравнений (7) дает после этого

а из уравнения (4) имеем

Таким образом, определение величин на основании двух последних уравнений приводится к нахождению величины .

363. Исследование движения.

Рассмотрим, как изменяется . Обратимся для этого к уравнению (8). Левая часть положительна, поэтому и правая часть, также должна быть положительна. Так как и есть косинус, то должно быть в виду того, что Поэтому в разложении (9) функции последний множитель существенно положителен и, следовательно, может изменяться лишь между . В таком случае 0 изменяется между соответствующими пределами и заключенными, между 0 и Производная — может изменить знак, лишь обращаясь в нуль (вследствие непрерывности), и так как она обращается в нуль лишь для значений , то отсюда следует, что а изменяется в одном направлении при переходе от или при переходе от их к Таким образом, колеблется между этими крайними значениями, так как мы увидим далее, что для перехода от одного из этих значений к другому требуется лишь конечный промежуток времени. В соответствии с тем, возрастает ли с течением времени от до или убывает от до мы должны определить знак радикала, как это указано в первом или во втором из двух следующих уравнений:

Уравнению (8) можно было бы удовлетворить, полагая и постоянно равным что обращает в нуль обе его части. Но тогда обратились бы в нули согласно уравнениям (7) и ось Oz была бы неподвижна. Это решение не удовлетворяет, однако, всем уравнениям Эйлера, так как непосредственно очевидно, что оно не согласуется с теоремой моментов. Следовательно, не может быть другого решения задачи, кроме периодического, которое только что было указано.

Фиг. 50

Чтобы представить движение оси Oz тела, опишем из точки О как из центра сферу с радиусом, равным единице, потом из той же точки опишем как из вершины два конуса вращения вокруг вертикальной оси под углами с углами при вершине следами этих двух конусов на сфере будут две горизонтальные окружности (фиг. 50).

Ось симметрии Oz тела пересекает сферу в точке , промежуточной между этими двумя окружностями. Движение точки z представляет собой сфгрическое изображение перемещения оси тела. Эта точка, на основании изложенного, описывает сферическую кривую, которая колеблется от окружности до окружности

Мы покажем, что эта кривая касается нижней окружности и нормальна к верхней окружности в точке встречи с этой окружностью, что требует, чтобы точка встречи была точкой возврата кривой.

Действительно, и (или есть вертикальная ордината точки z, т. е. ее высота над плоскостью экватора сферы. Угол измеряет двугранный угол между меридианом, проходящим через ось Oz, и некоторым неподвижным меридианом, так как меридиан нормален к оси (п° 343). Из уравнений (8) и (10) получим

Эта производная бесконечна на и равна нулю на , что доказывает наше утверждение. В самом деле, так как производная обращается в бесконечность на то проекция бесконечно малого перемещения точки z на плоскость меридиана бесконечно велика по отношению к проекции того же перемещения на параллель, когда z находится на . Обратный случай имеет место, когда z находится на .

Так как и изменяется между , то постоянно имеет место соотношение и следовательно, производная (10)

имеет знак и обращается в нуль лишь в том случае, если Поэтому угол все время изменяется в одном и том же направлении, т. е. плоскость вращается вокруг оси Oz, все время в одну и ту же сторону. Это направление вращения плоскости вокруг оси совпадает с направлением собственного вращения тела вокруг своей оси

Изменение угла определяет вращательное движение оси Oz тела вокруг вертикали или то, что называют прецессией тела. Угол есть азимут, или угол прецессии. Прецессия всегда направлена в сторону собственного вращгния тела вокруг своей оси Oz (в предположении, что эта ось направлена к центру тяжести Г).

Угол определяет наклон оси Oz к вертикали (зенитное расстояние). Изменение этого наклона называют нутацией тела. Так как изменяется попеременно от до и от до то нутация представляет собой периодическое изменение. Разность есть амплитуда нутации. Продолжительность полупериода, соотвзтствующая переходу от до их или от их до измеряется определенным интегралом

который имеет конечную величину и представляет собой, вообще говоря, эллиптический интеграл.

Интегрирование уравнения (8), приводящее к решению задачи, выполняется в эллиптических функциях и выходит за рамки этой книги. Однако, если начальная угловая скорость вращения вокруг собственной оси достаточно велика, то можно получить приближенное элементарное решение задачи, удовлетворяющее всем практическим требованиям.

364. Приближенное интегрирование в случае, когда начальная угловая скорость r0 очень велика.

Предположим, что постоянные а и b, зависящие от тела, имеют конечные значения очень большие и не очень малые). Пусть телу сообщено вращение вокруг собственной оси с очень большой угловой скоростью так что можно рассматривать как весьма большую величину первого порядка, а обратную величину — как малую величину того же порядка. Тогда интегралы движения могут быть представлены с большой степенью приближения в весьма простой конечной форме.

Покажем сначала, что если увеличивать неограниченно, то два корня и их функции становятся бесконечно близкими, между тем как корень и стремится к бесконечности.

Корни , на основании выражения (8) функции (п° 362), представляют собой корни квадратного уравнения

где через обозначено отвлеченное число (не зависящее от выбранных единиц)

т. е. — весьма большое число того же порядка, что и

Из уравнения (1) получаем при

Это выражение показывает, что есть весьма малая разность второго порядка (порядка ). Но разность — имеет тот же порядок. Следовательно, амплитуда нутации есть малая величина второго порядка.

С другой стороны, сумма их и двух корней квадратного уравнения есть коэффициент при и в этом уравнении; поэтому имеем

откуда видно (так как их меньше 1), что и есть весьма большая величина второго порядка.

Уравнение движения, представляющее собой уравнение (8) п° 362, может быть написано в виде

где

или, подставляя и из (15),

Отсюда следует, что k — весьма большая величина первого порядка, равная если пренебречь весьма малой ошибкой первого порядка. Размерность k та же самая, что и размерность а, т. е. она обратна времени и представляет - собой размерность угловой скорости (п° 361).

Уравнение (16) можно было бы проинтегрировать в конечной форме, если бы k было постоянно. Это условие на самом деле не имеет места, но можно считать, что оно выполняется приближенно с большой точностью. Действительно, k заключено между двумя постоянными значениями

Разность значений — весьма малая величина третьего порядка, так как, на основании соотношения (3), имеем

откуда

Поэтому будем интегрировать уравнение (16) так, как если бы k было постоянно, но оценивая полученное при этом приближение. Для этого выполним замену переменных

откуда

Уравнение (16) приводится при этом к виду

Проинтегрируем это соотношение, учитывая, что X обращается в нуль вместе с t и что k заключено между , тогда получим, на основании теоремы о среднем,

Значение и, определяющее нутацию, находится из уравнения (20), используя которое, мы приходим к соотношению

где k может содержать ошибку третьего порядка, и потому и получается приближенно с точностью до малых пятого порядка. Перейдем теперь к определению прецессии Имеем

на основании формул (22) и (3), получим

Эта формула предполагает погрешность третьего порядка в величине k и потому погрешность четвертого порядка для . Интегрирование с такой степенью приближения можно было бы выполнить, воспользовавшись для и его значением из формулы (22). Однако более простой и достаточно точный

результат получится, если пренебречь членами третьего порядка. Действительно, можно, допуская ошибку третьего порядка в заменить в формуле (22) к через и и через что дает

Проинтегрируем это соотношение, предполагая, что обращается в нуль вместе с t; тогда получим

причем ошибка будет малой величиной третьего порядка, пока t остается конечным. Порядок малости понизится на единицу, если t будет очень большой величиной первого порядка.

С. другой стороны, с точностью до величин первого порядка имеем и эта подстановка не изменяет порядка приближения предыдущей формулы. Мы можем поэтому написать, пренебрегая ошибкой третьего порядка при конечных значениях

Остается еще найти угол собственного вращения f. На основании уравнения (11) предыдущего пункта имеем

Уравнение (23) показывает, что — малая величина первого порядка, С другой стороны, — малая величина второго порядка. Поэтому, заменяя и через в предыдущем соотношении, что дает

получим ошибку третьего порядка. Выполним интегрирование, полагая, что обращается в нуль вместе с t; тогда получим, пренебрегая ошибкой третьего порядка в значениях (при t конечном или малом первого порядка),

или, подставляя (12),

Найдем с той же степенью приближения значение угла определяющего нутацию. Формула (22) дает значение и с ошибкой пятого порядка. Если же в этой формуле заменить к на то порядок ошибки понизится на две единицы. Поэтому получим, пренебрегая ошибкой третьего порядка для и,

Пусть будут промежуточные значения углов между и (их можно считать равными между собой, пренебрегая ошибкой второго порядка). На основании формулы конечных приращений будем иметь

следовательно, с точностью до ошибки второго порядка получим

Отсюда, пренебрегая ошибкой третьего порядка в 6, будем иметь

Пользуясь снова формулой конечных приращений, находим с точностью до ошибки второго порядка в

отсюда и из формулы (14) с точностью до ошибки четвертого порядка имеем

Подставляя это значение в предыдущую формулу, находим окончательно с точностью до ошибки третьего порядка в

(26)

Формулы (23), (24) и (26) определяют в функции от t с точностью до малых второго порядка. Эти формулы решают, таким образом, поставленную задачу..

Постоянные определяются из соотношений, которые находим, обращаясь к п° 361,

365. Выводы из формул предыдущего пункта.

В случае, когда угловая скорость очень велика, формулы предыдущего пункта приводят к важным заключениям, которые мы здесь кратко изложим.

Формула (26) показывает, что угол 6, изменение которого определяет нутацию, отличается от своего начального значения лишь на весьма малый периодический член второго порядка. Следовательно, нутация, т. е. колебание оси тела в вертикальной плоскости около некоторого среднего ее положения, незаметна. Амплитуда нутации определяется формулой (14), ее значение равно [см. (27)]:

(28)

Продолжительность полной нутации получается из формулы (26) с точностью до малых первого порядка

и, следовательно, при такой степени приближения не зависит от начального значения угла наклона оси тела к вертикали.

Угол прецессии определяется формулой (23). Он складывается из члена, пропорционального времени, и из периодической части. Первый член есть малая первого порядка, а второй член, представляющий собой периодическую часть, является малой величиной второго порядка. Поэтому средняя прецессия определяется первым членом: она представляет собой равномерное вращение оси тела Oz вокруг вертикали с небольшой угловой скоростью

не зависящей при такой степени приближения от начального наклона оси Oz к вертикали.

Прецессия происходит в сторону вращения (если последнее определять по отношению к оси, имеющей направление от

О к Г). Продолжительность полного обращения оси тела вокруг вертикали также не зависит от наклона оси тела. Она равна

Наконец, угол собственного вращения определяется формулой (24). Он складывается из части, пропорциональной времени, и из периодической части, представляющей собой весьма малую величину второго порядка. Если пренебречь этой последней, то среднее движение тела вокруг собственной оси Oz, отнесенное к плоскости есть равномерное вращение с угловой скоростью

Эта угловая скорость отличается от лишь на весьма малый член первого порядка.

Кинематическое представление. - Назовем истинной осью ось симметрии тела и средней осью фиктивную ось, направление которой определяется средними значениями и углов , где

Уравнения (27) и (23) могут тогда быть написаны в виде:

и выражают следующую теорему (с точностью до величин второго порядка):

Истинная ось тела составляет со средней осью постоянный угол

представляющий собой малую величину второго порядка, и вращается равномерно вокруг средней оси, в то время как эта последняя сама вращается равномерно вокруг вертикали (в ту же сторону), сохраняя постоянный угол наклона .

Истинная ось тела удаляется от средней оси лишь на малую величину второго порядка. Отсюда, следует, что если очень

велико, то кажущееся движение тела совпадает со средним движением. При этом единственным заметным движением тела вращения является весьма медленное коническое движение его оси вокруг вертикали. В этом движении ось тела совершает один полный оборот вокруг вертикали за время

Во всех этих вычислениях мы предполагали, что ось Oz направлена от неподвижной точки к центру тяжести. В противном случае знак должен быть изменен и прецессия должна происходить в направлении, обратном направлению вращения вокруг оси

Фиг. 51

Эти результаты можно проверить на аппарате Робера. Этот прибор состоит из стальной оси Oz, оканчивающейся остриями на своих концах и опирающейся одним из них О о дно углубления, выточенного в верхнем конце медной колонки С. Такое устройство обеспечивает неподвижность острия (фиг. 51). С этой осью связано бронзовое кольцо Т, укрепленное на оси таким образом, что при помощи груза В, скользящего вдоль оси, центр тяжести прибора можно по желанию поместить на оси по ту или другую сторону от точки О. Кольцу сообщают быстрое вращение посредством шнурка, придав оси наклонное начальное положение. Затем прибор предоставляют действию силы тяжести. При этом мы видим, что ось тела совершает коническое движение вокруг вертикали. Направление этого движения можно изменять по желанию, действуя на груз таким образом, чтобы центр тяжести прибора поднимался выше точки опоры или опускался ниже ее.

366. Численный пример.

Тор, образующий круг которого имеет радиус и центр на расстоянии от оси фигуры, вращается вокруг эщрй оси с угловой скоростью 100 оборотов в секунду. Тор подвешен в точке своей оси На расстоянии см от центра тяжести и предоставлен действию силы тяжести при начальном угле наклона оси (к вертикали) .

Определить амплитуду и продолжительность Т нутации, а также время Т, необходимое для полного оборота оси тора вокруг вертикали. Арматурой, связывающей тор с осью, пренебречь.

Определим сначала два момента инерции: С — относительно оси вращения (оси фигуры) и А — относительно оси, перпендикулярной к первой и проходящей через точку опоры. Чтобы получить А, нужно прибавить величину 2 к моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр тяжести. Эти моменты даются формулами п° 332. Выберем в качестве единицы длины сантиметр; тогда будем иметь . В результате получим:

За единицу времени примем секунду. Тогда

Продолжительность нутации (полный период) равна, по формуле (6),

Амплитуда нутации, по формуле (17), где P=Mg, равна

Так как очень близко к единице (в виду того, что то амплитуда приблизительно равна

Даже если 90°, что соответствует наибольшей амплитуде, последняя достигает лишь нескольких десятитысячных долей миллиметра на окружности радиуса в 1 см или 3,6 см на окружности радиуса в 1 км. Соответствующее значение угла нутации меньше , т. е. практически незаметно для невооруженного глаза.

Наконец, продолжительность 27 одного оборота оси вокруг вертикали, вызванного прецессией, равна, по формуле (19),

Продолжительность полного оборота составляет, таким образом, около 5 минут.