8.3. ПРЕДЕЛ НУЛЕВОЙ МАССЫ, АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ И ТЕОРЕМА ВАЙНБЕРГА

До сих пор мы не касались проблем, связанных с безмассовыми частицами. Цель данного раздела — дать эвристическое изложение некоторых аспектов этих проблем и показать их связь с теоремой Вайнберга. Последняя относится к изучению поведения диаграмм Фейнмана при очень больших внешних импульсах.

8.3.1. Безмассовые теории

Используя для внутренних линий пропагаторы безмассовых частиц, мы рискуем столкнуться с новыми расходимостями. В нашу задачу входит показать, что подобное явление не встречается, пока мы удалены от некоторых выделенных значений внешних импульсов. В евклидовой (т. е. преобразованной с помощью поворота Вика) форме теории, когда размерность всех вершин лагранжиана равна четырем (или выше), сильносвязные функции конечны при любом ненулевом и неисключительном значении внешних импульсов. Неисключительные импульсы — это такие конфигурации, в которых никакая частичная сумма входящих импульсов - не обращается в нуль. Интегралы остаются конечными для малых значений внутренних импульсов, поскольку внешние импульсы обеспечивают обрезание снизу.

Это утверждение не выполняется в теориях, содержащих суперперенормируемые связи. Например, на рис. 8.10, а диаграмма с -вершиной (или, что эквивалентно, -вставкой при нулевом импульсе) имеет инфракрасную расходимость:

Эту амплитуду можно также рассматривать как шеститочечную функцию в -теории (рис. 8.10,б), но тогда она вычисляется для исключительной конфигурации.

РИС. 8.10. Диаграмма с инфракрасной расходимостью.

Строгое доказательство требует аккуратного разбиения области интегрирования, весьма похожего на то, которое проводилось при доказательстве теоремы в разд. 8.1.4. Здесь мы приведем лишь простую аргументацию, основанную на подсчете степеней расходимости без учета возможных ультрафиолетовых расходимостей.

Подсчет степеней инфракрасных расходимостей сводится к нахождению числа внутренних импульсов, которые могут стать мягкими в диаграмме, если обеспечено сохранение импульса в каждой вершине. Рассмотрим -точечную функцию с ненулевыми внешними импульсами и предположим, что для этих жестких внешних импульсов выбран определенный поток через диаграмму. Поскольку выбранные таким образом импульсы не являются исключительными, любой внутренней линии, через которую протекает этот поток, отвечает ненулевой импульс, тогда как импульсы, отвечающие петлям, равны нулю. Кроме того, то же самое свойство означает, что эти жесткие внутренние линии

образуют связный узор на диаграмме (в примере, приведенном на рис. 8.11, он отвечает жирным линиям). Следовательно, поскольку нас интересует поведение в инфракрасной области, эти внутренние линии можно сжать в одну вершину. С этой вершиной связаны N жестких внешних и t внутренних линий, причем поскольку диаграмма одночастично-неприводима. Пусть обозначают соответственно число внутренних линий, петель, трех- и четырехточечных вершин в сжатой диаграмме. Тогда можно записать обычные топологические соотношения

Поскольку по предположению все вершины лагранжиана имеют степень четыре, каждой трехточечной вершине отвечает одна степень импульса. Следовательно, степень однородности сжатой диаграммы, которая определяет условную степень инфракрасной расходимости, когда импульсы всех внутренних петель одновременно малы, равна

Это, по крайней мере эвристически, является условием инфракрасной сходимости.

Можно поинтересоваться, не становится ли неверным проведенный подсчет степеней расходимости, если смягчить гипотезу о том, что после сжатия импульсы всех внутренних петель малы. Например, предположим, что внутренних импульсов остаются жесткими и что они образуют узоре петлями, вершинами каждого типа.

РИС. 8.11. Поток жестких импульсов через диаграмму и соответствующая сжатая диаграмма.

Может показаться, что заменяется на где и что мы можем столкнуться с трудностями. К счастью, это не так. Жесткий узор можно рассматривать как диаграмму (возможно, несвязную), все внешние линии которой являются мягкими по построению. Таким образом, она ведет себя, как эти импульсы в степени Следовательно, не изменяется. Это не удивительно, поскольку является степенью однородности диаграммы.

Можно пойти еще дальше и показать, что, когда один из импульсов обращается в нуль, а остальные не равны нулю и не являются исключительными, функции Грина остаются конечными.

Читатель не столкнется с трудностями при обобщении на этот случай рассуждений, приведенных выше, и в демонстрации того, что уменьшается самое большее на единицу.

При этих нестрогих рассуждениях мы пренебрегали возможными трудностями в ультрафиолетовой области. Для того чтобы перенормировка не нарушала нашего результата, необходимо выбрать

разумные условия нормировки. Вычитания при нулевом импульсе следует исключить, поскольку функции Грина обычно расходятся в этой точке. В безмассовой теории имеет смысл выбрать в качестве точек нормировки вместо (8.34) или (8.36) евклидовы значения импульса, например . Необходимость введения ненулевой точки нормировки означает, что теория, в которой отсутствуют физические массы, тем не менее содержит массовый масштаб Независимость физических величин от выбора этой величины приводит к связям, соответствующим ренормализационной группе, которые мы обсудим ниже.

Приведенные соображения применимы также к теориям, в которых рассматриваются как безмассовые, так и массивные частицы, например к квантовой электродинамике. Функции Грина конечны при любом ненулевом и неисключительном значении импульса. Когда в нуль обращается более чем один внешний импульс, в каждом отдельном случае необходимо проводить независимый анализ.

Таким образом, в случае, когда все (или некоторые) массы внутренних линий диаграммы Фейнмана обращаются в нуль, не будет никаких сингулярностей, если

1) степень всех вершин равна четырем;

2) внешние импульсы не являются исключительными;

3) имеется самое большее один мягкий внешний импульс;

4) перенормировка проводится в некоторой фиксированной точке евклидова пространства.

Труднее ответить на вопрос, что происходит, если внешние импульсы продолжить из евклидовой области к физическим значениям на массовой поверхности. Представляют интерес следствия, вытекающие из предыдущей теоремы. Рассмотрим сильносвязную двухточечную функцию и предположим, что ее можно аналитически продолжить в псевдоевклидову область, не наталкиваясь на пороговые сингулярности. Функция Грина при этом остается конечной, как и ее абсорбтивная часть. Согласно правилам Куткоского (см. гл. 6 в т. 1) это означает, что все ширины распадов в конечные состояния, в которых присутствуют безмассовые частицы, являются конечными. Этот результат, полученный Киноситой, следует сравнить с теоремой, доказанной Ли и Науенбергом. По этой теореме любая вероятность перехода в теории, рассматривающей безмассовые частицы, конечна при условии, что производится суммирование по вырожденным состояниям. Это, разумеется, согласуется с тем, что мы обнаружили на частных примерах, разобранных в гл. 4 и 7 (см. т. 1), в которых мы рассматривали главным образом мягкое излучение. Следует иметь в виду, что при рождении коллинеарных безмассовых частиц с ненулевой энергией могут возникнуть дополнительные расходимости. Теорема Ли и Науенберга справедлива и для таких расходимостей.