13.5.3. Разложение на световом конусе

С целью анализа поправок к партонной модели глубоконеупругих процессов необходимо расширить область применимости операторных разложений. О том, какого вида обобщения потребуются для перехода к светоподобным интервалам, можно догадаться, исходя из анализа случая свободных полей [см (13.112)]. Если отвлечься от несущественных для дальнейшего изложения индексов у токов, то асимптотическое разложение, справедливость которого нам хотелось бы показать, имеет вид

где операторы симметричны относительно лоренцевых индексов и имеют нулевой след по любой паре индексов. В рамках теории возмущений и с точностью до логарифмов мы ожидаем, что коэффициенты пропорциональны

    (13.168)

где - каноническая размерность тока

В отличие от ранее рассмотренного случая заданному поведению на световом конусе, например доминирующему, соответствуют

вклады бесконечного числа членов. Вклады можно сгруппировать в соответствии с величиной, которую Гросс и Трейман назвали «твистом». Она представляет собой разность

между размерностью оператора и его спином. Строго говоря, последний характеризует соответствующее представление однородной группы Лоренца. Тот факт, что требуется бесконечное число членов, следует приветствовать, поскольку матричные элементы этого произведения токов должны давать масштабную функцию . Знание такой функции эквивалентно знанию бесконечной последовательности чисел, например ее моментов. В случае когда структурные функции лептон-адронного рассеяния представляются в виде абсорбтивной части комптоновской амплитуды, целое число N представляет собой верхнее ограничение значения спина, обмениваемого в -канале.

Ведущий вклад обусловлен операторами низшего твиста. В теории, включающей фермионы со спином 1/2, скалярные и калибровочные бозоны, эта величина принимает значение 2 для диагональных матричных элементов электромагнитных токов. Эти операторы являются билинейными по полям (с точностью до ковариантных производных) и имеют следующий вид:

    (13.170)

Симметризация и вычитание сверток подразумеваются. В этом списке упомянуты только «физические» поля, чтобы не вдаваться пока в тонкости, специфические для калибровочных теорий. (См. ниже некоторые замечания по данному вопросу.)

Для проверки разложения (13.167) свяжем его с разложением на малых расстояниях, выделяя вклад, соответствующий обмену определенным спином в кросс-сопряженной комптоновской амплитуде. Эта величина зависит только от переменной т. е. от квадрата импульса виртуального фотона, и в пределе доминирующий вклад в нее дает оператор с соответствующим спином и твистом 2 в разложении Вилсона. Благодаря этому можно получить определенную информацию о моментах структурных функций.

Для краткости по-прежнему будем пренебрегать векторным характером токов и последующим тензорным анализом структурных функций. Таким образом, будем считать, что мы имеем дело

со скалярной амплитудой

    (13.171)

При конечных эту амплитуду можно разложить по ортогональным полиномам переменной которая играет роль косинуса угла между -векторами ряд. Эти полиномы ортогональны с весом и являются обобщением полиномов Лежандра, относящихся к группе на случай -инвариантности Читатель, интересующийся деталями, связанными с упомянутой проекцией и ограничениями, возникающими вследствие свойств положительности структурных функций, может обратиться к работе Нахтманна, цитируемой в примечаниях к данной главе. Здесь мы ограничимся упрощенным рассмотрением.

Подставляя (13.167) в определение амплитуды (13.171), находим

Мы позаботились об аналитических свойствах в х-пространстве, добавив к переменной бесконечно малую отрицательную мнимую величину. Определим следующие величины:

    (13.172)

Выраженный через эти величины доминирующий вклад в записывается следующим образом:

    (13.173)

Вклады операторов а связаны с коэффициентами тейлоровского разложения амплитуды А по степеням масштабной переменной тогда как в экспериментах измеряется абсорбтивная часть амплитуды А при Необходимо поэтому выделить коэффициент при с тем, чтобы можно было воспользоваться разложением на малых расстояниях для изучения поведения при больших отрицательных . В этом обсуждении использование переменной более удобно, чем обратной ей величины

Поскольку точка находится вне пределов, в которых можно проводить эксперимент, нам не удастся обойтись без аналитического продолжения. Его можно выполнить с помощью дисперсионного соотношения для амплитуды А виртуального комитоновского рассеяния вперед. В качестве скачка на разрезе при этом используются структурные функции . В этом дисперсионном

соотношении переменной величиной является энергия или, что при фиксированном сводится к тому же самому, величина со. В случае при определении скачка необходимо воспользоваться свойствами рассматриваемой амплитуды относительно кроссинг-преобразования. В фиктивном скалярном случае, рассматриваемом здесь, или . В реальном случае векторных токов , откуда следует, что все три структурные функции можно считать нечетными функциями относительно .

Необходимо привлечь также дополнительную информацию о числе вычитаний k, достаточном при всех N в области больших отрицательных Если — полином от степени с зависящими от коэффициентами, то

    (13.174)

Разлагая амплитуду в ряд в окрестности точки получаем также

    (13.175)

При отсюда следует искомое соотношение, связывающее моменты структурных функций и коэффициенты Вилсона:

    (13.176)

При фиксированном N ведущий вклад в правой части этого выражения соответствует операторам твиста 2. Условие положительности W приводит к тому, что моменты представляют собой выпуклую функцию по переменной N. Чем меньше N, тем более чувствительны MN к поведению в асимптотической области, поскольку при больших N мы имеем дело главным образом с областью

В соответствии с предполагаемым характером теории возможны следующие варианты поведения при больших

    (13.177)

В свете имеющихся экспериментальных данных последний вариант выглядит наиболее предпочтительным.

Читатель может спросить, нельзя ли объяснить наблюдаемое масштабное поведение существованием нетривиальной фиксированной точки при условии, что все равны нулю. Однако это означало бы обращение в нуль аномальной размерности самого фундаментального поля:

С учетом свойства положительности отсюда мы можем заключить, что теория является свободной. Следовательно, асимптотическая свобода остается единственной возможностью.

Вернемся на короткое время к обсуждению калибровочных теорий, которые только и могут привести к асимптотической свободе, и исследуем специфические усложнения, возникающие, как обычно, в этом случае. В разложении произведения физически наблюдаемых и, следовательно калибровочно-инвариантных операторов могут, однако, появляться нефизическис операторы, в частности составленные из духовых полей Такие операторы встречаются в контрчленах для функций Грина и, следовательно, необходимы при вычислении аномальных размерностей физических операторов. Эти дополнительные операторы можно охарактеризовать с помощью метода, основанного на тождествах Уорда и развитого в гл. 12 для функций Грина, не имеющих вставок Результат, записанный в виде (12.163), можно обобщить следующим образом Используя те же обозначения, что и в гл. 12, можно показать, что калибровочно-инвариантный оператор О размерности d генерирует конгрчлены с размерностью, меньшей или равной d, и имеющие те же квантовые числа, что и О, причем эти контрчлены либо калибровочно-инвариантны, либо имеют вид Второй класс операторов стабилен относительно перенормировок, поскольку Следовательно, вычисление аномальных размерностей можно провести в базисе . В этом случае матрица аномальных размерностей является блочно-треугольной с заполненным верхним углом. Только субматрица, соответствующая подпространству имеет прямое отношение к вычислению физических аномальных размерностей. В благоприятной ситуации, используя некоторые аргументы, можно упростить анализ, сводя его непосредственно к вычислению лишь этой субматрицы. Кроме того, матричные элементы калибровочно-инвариантных операторов между физическими состояниями, а также и их аномальные размерности не зависят от калибровочного параметра. Поэтому член , введенный в выражение (13.74), можно опустить.

В заключение дадим сводку результатов применения калибровочных теорий сильных взаимодействий к процессам глубоконеупругого лентон-адронного рассеяния. Эти результаты были получены Джорджи и Политцером, а также Гроссом и Вилчеком. Для процессов электро- (или мюонного) рождения описанный выше анализ применяется к структурным функциям обозначаемым в совокупности и к их моментам

    (13.178)

В данном случае из списка (13.170) вклад дают операторы двух последних типов. Здесь мы сталкиваемся с проблемой смешивания операторов, относящихся (при фиксированном N) к этим двум типам. Поскольку мы имеем дело с асимптотически свободной теорией,

наивный масштабный закон логарифмически нарушается:

причем показатели степени при вычислимы. Суммирование в (13.179) производится по собственным векторам матрицы перенормировок. Входящие сюда коэффициенты вообще говоря, остаются неизвестными.

Наиболее просто провести рассмотрение для низшего момента с . В этом случае одним из операторов является тензор энергии-импульса с нулевой аномальной размерностью, а также рассматривается оператор, дающий другой, нелидирующий вклад. Кроме того, нам известен матричный элемент оператора между протонными состояниями:

В результате мы приходим к следующему правилу сумм:

    (13.180)

где a выражается через средний квадрат заряда фермионных составляющих следующим образом:

    (13.181)

Последнее выражение относится к случаю, когда имеется типов фермионов, принадлежащих одному и тому же представлению калибровочной группы SU (N), имеющему размерность п. Например, в случае группы SU (3) для трех типов триплетов, имеющих заряды 2/3, —1/3, —1/3, величина а равна 2/25, а для четырех триплетов с зарядами 2/3, —1/3, —1/3, 2/3 имеем . В партонной модели со свободными кварками соответствующее значение в соответствии с (13.110) равно . Уменьшение величины а в асимптотически свободной модели связано с тем, что часть энергии-импульса переносится нейтральными глюонами.

При разумным приближением является учет только оператора, соответствующего меньшей аномальной размерности. При больших N показатель AN ведет себя как

Хотя в отсутствие дополнительной информации решение задачи о восстановлении структурных функций по их моментам является безнадежным делом, некоторые результаты можно получить, если вдобавок к (13.179) учесть еще и свойство положительности. Например,

для любого N можно записать

    (13.182)

Поскольку при можно ожидать, что функция f при фиксированных х убывает быстрее, чем любая степень величины Из этого свойства с учетом правила сумм (13.180) следует, что по мере увеличения переменной структурные функции при малых х должны возрастать.

Асимптотический режим для моментов достигается очень медленно, поскольку недоминирующие вклады подавлены лишь множителем порядка . Это следует из формулы двухпетлевого приближения [см, (13.90)] для эффективного заряда. Кроме того, степень приближения зависит от неизвестного масштаба, при котором эффективный заряд становится малым. Вдобавок, при конечных могут влиять также массовые члены.

РИС. 13.16. Теоретические кривые для второго момента структурной функции, соответствующей рождению мюона, и экспериментальные значения, полученные Андерсоном и др. [см. Anderson Н. L. et al.- Phys. Rev. Lett., 1977, ser. B, vol. 38, p. 1450]. Этот рисунок и один из рис. 13.17 представил нам Г. Альтарелли

С другой стороны, вычисление моментов из экспериментальных данных также не является простой задачей, поскольку для этого необходимо проводить измерения при очень высоких энергиях (малых х) и при любых конечных замена переменной х на может оказать заметное влияние на результаты.

Несмотря на эти трудности, сравнение результатов, предсказываемых

теорией, с экспериментальными данными можно считать успешным. Удобно переписать выражение для эффективной константы связи (13.129) в терминах одного параметра А, который задает необходимый масштаб:

Это выражение относится к случаю, когда группой цвета является и имеется триплетов кварков ароматов). Наилучшие результаты, полученные на 1977 г. подгонкой к эксперименту при соответствуют МэВ.

РИС. 13.17. Четвертый и шестой моменты для рождения мюона, нормированные при Экспериментальные данные получены Андерсоном и др. (Сообщение на конференции в Гамбурге в 1977 г.)

На рис 13.16 показаны результаты сравнения экспериментальных данных для момента структурных функций глубоконеупругого мюонного рассеяния

с теоретическими предсказаниями. Стрелка указывает предел при . В случае более высоких моментов (рис. 13.17) можно сравнить с экспериментом только отношение .

В случае глубоконеупругого нейтринного рассеяния аналогичный анализ необходимо провести для разложения на световом конусе произведения слабых токов: . В правой части разложения при этом возникают следующие операторы твиста два:

    (13.184)

Необходимо учесть также третью структурную функцию [см. формулу (13.106)]. Комбинируя амплитуды, соответствующие рассеянию нейтрино и антинейтрино на протонах и нейтронах, можно выделить канал, имеющий данные квантовые числа. Например, в разность дает вклад только октетный оператор (13.184 б).

Должны выполняться правила сумм, являющиеся следствием того, что генераторы адронных симметрий коммутируют с генераторами калибровочной группы. Так, правило сумм Адлера (11.105) должно выполняться при всех

    (13.185)

Другие правила сумм выполняются только в асимптотике, причем имеет место логарифмический выход на асимптотику. К таковым, например, относится правило сумм Каллана—Гросса, которое записывается в виде

В партонной модели величина обращается в нуль [см. (13.109)].