13.5. ОПЕРАТОРНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ

Проведенное выше рассмотрение иллюстрирует интерес к изучению поведения матричных элементов произведений составных операторов в некоторых хорошо определенных предельных случаях. Этими случаями являются следующие:

1. Пространственно-подобный интервал стремится к нулю (евклидов случай).

2 Времениподобный интервал стремится к нулю (метрика Минковского).

3. Величина стремится к нулю (свегоподобный предел).

Случаи 2 и 3 характерны для физики частиц. Вообще говоря, рассматриваемые операторы являются сохраняющимися или частично сохраняющимися токами Случай 1 можно проанализировать наиболее полно. Полученные результаты непосредственно применимы в статистической механике. Основополагающие работы в этой области были сделаны Вилсоном и Циммерманом.

13.5.1. Разложение на малых расстояниях

Рассмотрим произведение двух локальных операторов. В целях упрощения будем указывать только их зависимость от конфигурационных переменных. Для этого произведения Вилсон предложил разложение на малых расстояниях в виде

    (13.131)

Здесь через обозначена последовательность локальных регулярных операторов, в то время как с-числовые коэффициенты в пределе сингулярны. В рамках теории возмущений их поведение с точностью до логарифмов определяется канонической размерностью соответствующих операторов:

    (13.132)

Чем выше размерность величины тем быстрее С стремится к нулю. Очевидно, что ренормгрупповые эффекты приводят к некоторой модификации этих соображений.

Когда имеют дело с евклидовой теорией, слово «оператор» несколько дезориентирует. В действительности мы подразумеваем возможность построить обобщенные функции Грина , в которых аргументов относятся к фундаментальным полям, а оставшиеся два — к А и В. Смысл выражения (13.131) состоит в том, что если упорядочить операторы О в соответствии с их размерностью, то

Разложение Вилсона обладает тем свойством, что сингулярности, возникающие в пределе содержатся в с-числовых коэффициентах независимо от числа аргументов и типов элементарных полей, входящих в функции Грина. В пространстве Минковского равенство (13.133) понимается, как асимптотический ряд (в слабом смысле) матричных элементов между физическими состояниями. Очевидно, это является обобщением случая, рассмотренного выше, когда все разности координат одновременно устремлялись к нулю. Мы покажем, что для коэффициентов можно написать ренормгрупповые уравнения

Вместо того чтобы приводить громоздкое общее доказательство, удовлетворимся рассмотрением простого примера из теории скалярного поля Будем считать операторы А и В элементарными полями и найдем главный коэффициент

    (13.134)

Из (13.132) можно ожидать, что ведет себя в данном порядке как полином по с точностью до членов порядка . Чтобы доказать это, рассмотрим два набора связных функций Грина и изучим дополнительные вычитания, необходимые для построения в сравнении с теми, что необходимы для построения . На рис. 13.13 иллюстрируется пример, включающии G и

Подынтегральное выражение в фейнмановском интеграле, относящемся к G, можно получить, если отождествить две внешние вершины, принадлежащие (рассматривая их далее как одну), и соответствующим образом подправить симметрийиый коэффициент. Но вычитания, которые необходимо произвести,

будут иными. Для анализа перенормировочной процедуры достаточно рассмотреть одночастичпо-неприводимые функции . Однако не следует удалять из две внешние линии, которые должны «склеиться» при переходе к

РИС. 13.13. Связные функции Грина

Обозначим через одночастично-неприводимую -точечную функцию с полными пропагаторами на внешних линиях, по которым протекают импульсы и . Пусть и -перенормированные подынтегральные выражения соответственно для . Они связаны соотношением

    (13.135)

где обусловлено вычитаниями расходимостей из подграфов, содержащих вершину V, сопоставляемую оператору Эти подграфы соответствуют неприводимым функциям Грина с двумя внешними ф-линиями и имеют нулевую условную степень расходимости, если считать, что размерность равна двум. Как и в гл. 8, обозначим через множество всех лесов расходящихся подграфов, причем один из них содержит v. Если является наименьшим расходящимся подграфом множества содержащим вершину V, то можно написать

    (13.136)

где -множество расходящихся подграфов, принадлежащих , a -множество расходящихся подграфов, которые либо целиком содержат , либо вообще не пересекаются с . Пусть — подынтегральное выражение до вычитаний, общее для явное выражение для имеет вид

    (13.137)

Суммирование можно выполнить следующим образом Сначала учтем подграф , содержащий v, затем просуммируем по лесам

принадлежащим (исключая при этом само ), и далее — по лесам редуцированной диаграммы Последняя представляет собой одну из диаграмм, дающих вклад в функцию Для диаграммы, дающей вклад в функцию обозначим через а подграф, соответствующий . Если отвлечься от пропагаторов (и возможных собственно-энергетических вставок в них) двух линий, которые (для ) соединяются в вершине v, то а представляет собой неприводимую четырехточечную функцию. Назовем ее

Для любого подынтегральное выражение I факторизуется следующим образом: При промежуточной перенормировке операторы сводятся к ряду Тейлора при нулевом импульсе. Леса относятся к являются лесами сводится к замене величины ее постоянным членом (а).

РИС. 13.14. Вычитания при нулевом импульсе в

Эта операция иллюстрируется на рис. 13.14, на котором показан некоторый вклад в Соответствующая диаграмма содержит две линии, которые можно будет затем соединить в вершине V. Под действием операции все внешние импульсы полагаются равными нулю, за исключением импульса k, как бы циркулирующего по подграфу . Математически это можно записать следующим образом:

    (13.138)

откуда с учетом соотношения (13.135) имеем

    (13.139)

Перенормированное подынтегральное выражение для записано в таком виде, что вычитания, связанные с V, фигурируют явно, хотя они, безусловно, компенсируются вторым членом в правой части этого соотношения. В данном случае обозначение является несколько двусмысленным, поскольку число аргументов все еще равно и операция действует на функцию Грина, которую будем обозначать как

После интегрирования по импульсам петель и суммирования по диаграммам функцию Грина можно записать следующим образом:

Определим величины

Обозначение напоминает, что оператору, заключенному в скобки, приписывается размерность, равная двум. Для упрощения обозначений мы воспользовались символами Г-произведения в пространстве Минковского. Полагая

    (13.141)

для фурье-образа при Нулевом импульсе и учитывая равенство (13.139), приходим к заключению, что

    (13.142)

Индекс Р указывает на то, что рассматриваемая величина получена из неприводимой функции Грина добавлением полных пропагаторов на двух внешних линиях. Мы рекомендуем читателю проверить описанные выше операции на каком-либо примере, чтобы убедиться в необходимости наличия симметрийного фактора (1/2) в (13.142).

Эта алгебраическая конструкция хорошо приспособлена для изучения предела Действительно, исходя из теории перенормировок, можно считать, что после вычитаний интеграл сходится. В частности, функции Грина, включающие в каждом порядке теории возмущений, при стремятся к функциям Грина, содержащим с точностью до поправок вида по крайней мере в евклидовой области.

Следовательно, равенство (13.142) позволяет выделить следующую наиболее сингулярную часть функции :

    (13.143)

В каждом порядке теории возмущений ведет себя как полином по Например, в низшем порядке функция пропорциональна

Вышеприведенному выводу можно придать более рафинированную форму, с тем чтобы продемонстрировать построение последующих членов разложения Вилсона. Мы опустим обсуждение этого довольно скучного вопроса и, предполагая, что окончательный результат правилен, займемся изучением следствий, вытекающих из применения ренермализационной группы к коэффициенту С. Согласно (13 143), при этом потребуется анализировать функции Грина при исключительных импульсах.

Из примера, данного выше, ясно, что в теории возмущений функция может содержать и субдоминантные члены Поэтому мы должны сделать выбор, следовать ли нам первоначальному методу Каллана—Симанзика, в котором вводится массовая вставка при нулевом импульсе, или подходу Вайнберга, основанному на использовании не зависящих от массы условий нормировки. Для определенности выберем первую возможность и обозначим через асимптотическую форму функции получающуюся в результате отбрасывания членов, которые в рамках теории возмущений являются недоминирующими. Покажем, что удовлетворяет уравнению вида

    (13.145)

Связные функции Грина удовлетворяют уравнению

    (13.146)

Заметим, что всегда можно определить А таким образом, что множитель [см. (13.70)] будет отсутствовать.

Подставим в (13.146) разложение Вилсона при и удержим только доминирующий член. В данном пределе левую часть этого выражения можно записать в виде

Уравнение Каллана—Симанзика выполняется также и для

    (13.147)

Отсюда уже следует желаемый результат при условии, что в пределе правую часть выражения (13 146) можно отождествить с

    (13.148)

Справедливость этого соотношения следует из рассмотрения, аналогичного тому, который мы провели кратко выше — необходимо только обобщить его на функции Грина, содержащие массовую вставку А. Заметим, что последняя находится вне подграфа , дающего вклад в поскольку единственной расходящейся функцией с двумя -вставками является амплитуда вакуум-вакуумного перехода Отсюда следует, что соотношение (13 148) выполняется, и таким образом мы доказали, что удовлетворяет уравнению ренормализационной группы (13 145).

Все это распространяется и на последующие члены операторного разложения. Возвращаясь к общему случаю, когда рассматривается произведение , видим, что (13.132) необходимо исправить на

    (13.149)

где — канонические, а аномальные размерности соответствующих операторов. Предполагается, что последние являются мультипликативна перенормируемыми.

Строго говоря, уравнения (13.145) и (13.149) справедливы только в евклидовой области. Они выполняются и в метрике Минковского

при условии, что фейнмановские добавки h остаются конечными. Предельный переход к реальному пространству Минковского, необходимый при анализе -аннигиляции, требует детального рассмотрения возможных осцилляций при больших импульсах.

Разложение Вилсона установлено только в смысле слабой сходимости. К примеру, оно выполняется для любой функции GB, содержащей элементарных полей и операторы . Однако нет никакой гарантии, что (13 131) можно непосредственно применить к другим функциям Грина, включающим дополнительно еще какие-то составные операторы. Например, равенство

является неверным. В этом случае, поскольку функция как целое является примитивно расходящейся, существуют дополнительные вклады в поведение на малых расстояниях, кроме тех, что обусловлены двумя полями ( генерирующими коэффициент ). В частности, необходимо учитывать вычитание для всей диаграммы как целого, которое дает новую функцию не зависящую от :

    (13.150)

Характер следствий, вытекающих из операторного разложения, зависит от того, имеются ли в действительности (т. е. вне рамок теории возмущений) ультрафиолетовые фиксированные точки Если такая точка существует, то мы получаем результаты с помощью модифицированного анализа размерностей, причем

В асимптотически свободной теории, в которой функции имеют порядок можно записать, как в разд. 13.3,

Интегрируя (13.149), получаем

    (13.153)

Таким образом, мы видим, что отклонения от канонического масштабного поведения имеют логарифмический характер.

Чтобы применить описанные выше методы к изучению конкретных примеров, необходимо указать вид соответствующих операторов, исследовать связанные с ними законы сохранения и обобщить анализ на случай светоподобных интервалов.