Глава 12. НЕАБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ

Начнем рассмотрение с короткого введения в геометрию полей Янга — Миллса, а затем детально обсудим их квантовую теорию. Особое внимание будет уделено процедурам квантования и перенормировки для случаев как точной, так и спонтанно нарушенной симметрии. Мы также кратко рассмотрим явление вырождения вакуума и классические решения. Приложения к единой теории слабых и электромагнитных взаимодействий будут обсуждаться при рассмотрении модели Вайнберга—Салама.

12.1. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

Предложенное Янгом и Миллсом в 1954 г. обобщение принципа калибровочной инвариантности на неабелевы группы оказалось чрезвычайно привлекательным и вполне естественным До конца 60-х гг. теория неабелевых калибровочных полей развивалась довольно медленно, несмотря на обилие посвященных ей работ. Затем были блестяще решены важнейшие проблемы квантования, перенормировки и инвариантного включения массы полей Янга — Миллса. Теперь все верят, что теория такого типа может обеспечить единое описание слабых, электромагнитных, а возможно, и сильных взаимодействий.

Модели калибровочных полей сложны во многих отношениях. Их трудно квантовать и перенормировать, они обнаруживают замечательные механизмы нарушения симметрий и приводят к уникальному поведению на малых расстояниях. В то же время большинство аспектов, связанных с дальнодействием, все еще не выяснено до конца. Как было осознано совсем недавно, калибровочные теории имеют удивительно богатую структуру даже на классическом уровне.

Практически невозможно уместить столь большое количество информации на нескольких десятках страниц. Поэтому мы ограничимся изложением основ и лишь упомянем некоторые из возможных путей развития теории и разрешения существующих проблем.

12 1.1. Калибровочное поле ... тензор ...

Модель, рассмотренная Янгом и Миллсом, была основана на изотопической симметрии с -симметрией в качестве группы глобальной инвариантности. Можно ли обобщить эту глобальную инвариантность до локальной таким образом, чтобы система отсчета, в которой определяются изоспины, могла произвольно меняться от точки к точке? Если допустить такую возможность, то для другого наблюдателя утверждение, что в данной точке пространства-времени рождена частица, скажем протон, было бы бессмысленным, пока не нашлось бы способа согласовать обе системы отсчета. В обеспечении такого согласования и состоит роль калибровочного поля. Подчеркнем аналогию с электродинамикой, где относительные фазы заряженных полей в различных точках имеют смысл только из-за возможности их сравнения посредством электромагнитного потенциала.

Для определенности рассмотрим N полей (в целях упрощения—лоренцевы скаляры), преобразующихся по неприводимому представлению U некоторой компактной группы Ли G:

где унитарная (или ортогональная) матрица Предположим, что лагранжиан инвариантен при этом преобразовании. Наша задача—построить более сложную теорию, инвариантную относительно преобразований (12.1), когда g зависит от пространственно-временной точки Пусть является такой функцией со значениями, принадлежащими группе G. Понятие обычной производной поля перестает быть полезным, поскольку мы сравниваем поля которые преобразуются независимо при (12.1). Чтобы сделать возможным такое сравнение, необходимо ввести новый объект.

Рассмотрим инфинитезимальное преобразование

где — тождественный элемент группы G, a -элементы алгебры Ли, удовлетворяющие коммутационным соотношениям

В представлении, к которому принадлежат поля генераторы реализуются антиэрмитовыми матрицами Та, так что при преобразовании g в соответствии с (12.2) имеем

Если инфинитезимальные параметры зависят от х, то соответствующие преобразования называются (локальными) калибровочными

преобразованиями, а группа таких преобразований — калибровочная группа — формально определяется как бесконечное произведение

    (12.46)

Введем калибровочные поля Они являются векторными полями и несут индекс присоединенного представления группы G. Обозначим через соответствующий элемент алгебры Ли:

и будем использовать одно и то же обозначение для любого его представления:

Бесконечно малому пути калибровочное поле сопоставляет элемент группы

Это позволяет сравнивать две соседние системы отсчета. Данное рассуждение можно обобщить на конечный путь С, идущий из точки Если путь задать параметрически, т. е. ввести параметр причем то элемент группы G, ассоциированный с С, определяется следующим образом:

Символ Р означает упорядочение по s, аналогичное известному хронологическому упорядочению Т.

На языке дифференциальной геометрии величина есть связность, задающая параллельный перенос геометрических объектов, определенных в пространстве представления группы. Параллельный перенос поля Ф из дается соотношением

из которого следует естественное определение ковариантной производной:

Записанная в компонентах эта производная имеет вид

    (12.96)

В частности, в присоединенном представлении получаем

Если в качестве G взять группу то данное определение сведется к известному понятию ковариантной производной в электродинамике Трансформационный закон калибровочного поля при калибровочных преобразованиях можно определить из требования, чтобы преобразовывалось как Для этого достаточно положить

    (12.10)

Следовательно,

    (12.11)

что и требовалось. В инфинитезимальной форме это преобразование записывается в виде

    (12.12)

преобразуется как . Разлагая (12.10) в ряд по 6а до первого порядка, получаем

    (12.13а)

здесь величина считается принадлежащей присоединенному представлению. Последнюю формулу можно также записать в более явном виде

    (12.136)

Используя равенство (12.10), для конечного калибровочного преобразования имеем

    (12.14)

По сравнению с абелевым случаем появилось новое свойство: при постоянном g (или ) преобразуется как заряженное поле, принадлежащее присоединенному представлению, что видно из структуры второго члена в правой части соотношений (12 13) и (12 14).

В классической электродинамике два потенциала, локально связанные несингулярным калибровочным преобразованием» физически эквивалентны, а потому им соответствует один и тот же

тензор F напряженности электромагнитного поля. Наша задача состоит в тем, чтобы построить аналогичный тензор кривизны F в неабелевом случае С этой целью рассмотрим параллельный перенос некоторого данного поля Ф вдоль бесконечно малого замкнутого пути С. После возвращения в начальную точку поле Ф окажется повернутым с помощью преобразования

Пусть l — характерный размер пути С. Разложим экспоненту в последнем выражении до членов порядка

Здесь, как и выше, упорядочение означает, что кривая параметризуется таким образом, что Разложим также величину

Тогда получим

    (12.15)

где - бесконечно малая площадь, ограниченная контуром С. Полагая

    (12.16)

получаем обобщенное определение электрического и магнитного полей. Тензор F часто называют тензором напряженностей. Из предыдущего обсуждения следует полезное тождество

    (12.17)

Калибровочное преобразование величины записывается в виде

[ср. с формулой (12.10)]. Следовательно, F преобразуется как заряженное поле, принадлежащее присоединенному представлению;

    (12.18)

В инфинигезимальной форме это соответствует

    (12.19)

В частности, ковариантную производную величины F можно записать следующим образом:

В электродинамике внешняя производная дифференциальной формы , а именно представляет собой замкнутую форму второго порядка:

Это свойство эквивалентно однородным уравнениям Максвелла . Наоборот, если задана такая замкнутая форма, из леммы Пуанкаре следует локальное существование потенциала А, через который выражается F (см раздел 1.1.2 в т. 1 настоящей книги) В неабелевом случае ситуация несколько иная. Здесь действительно существует аналогичное тождество

    (12.21)

являющееся следствием тождества Якоби и тождества (12,17). Однако следует заметить, что уравнение (12 21) уже предполагает существование А, так как А явно присутствует в ковариантной производной Более того, можно показать, что если удовлетворяют уравнению (12 21), то из этого факта не следует с необходимостью, что F есть тензор напряженности, отвечающий потенциалу А. Соответственно, в противоположность абелеву случаю, тензор напряженности F не определяет однозначно все калибровочно-инвариантные величины

Если обращается в нуль в окрестности некоторой точки, то представляет собой чистую калибровку:

    (12.22)

Действительно, если то в соответствии с определением F интеграл от вдоль пути С из его начала в точку х не зависит от вида кривой:

Этот элемент удовлетворяет соотношению (12.22). Обратно, подставляя вместо чистую калибровку, мы видим, что F обращается в нуль.

За счет произвола в калибровке иногда можно потребовать, чтобы потенциал локально удовлетворял некоторому условию. Это называется выбором калибровки. Пусть, например, -фиксированный -вектор. Существует калибровочное преобразование

, такое, что

Такая калибровка называется аксиальной.

Покажем, что такая калибровка возможна. Для этого введем 4-вектор такой, что (например , если ). Любую величину х можно однозначно представить следующим образом:

где

Рассмотрим отрезок и интеграл

Используя величину

МЫ видим, что

В соогветавии с определением функции можно написать

откуда следует, что

Аналогичным образом мы могли бы показать, что посредством калибровочного преобразования в любом случае можно локально удовлетворить условию Лоренца

    (12.24)

а также любому другому условию, которое получается из (12.23) или (12.24) заменой правой части на некоторую функцию со значениями в алгебре Ли группы