8.4.4. Поляризация вакуума в двухпетлевом приближении

Вычисление амплитуды поляризации вакуума в двухпетлевом приближении будет проведено для случая безмассовой евклидовой квантовой электродинамики с использованием размерной регуляризации.

Это вычисление поучительно во многих аспектах:

1) оно дает пример свойств, характерных для поправок высших порядков, т. е. свойств, не проявляющихся в однопетлевом приближении

2) демонстрирует действие размерной регуляризации в спинорном случае;

3) убеждает нас, что перенормировки можно провести даже в тех случаях, когда имеются перекрывающиеся диаграммы;

4) иллюстрирует результаты, относящиеся к безмассовым теориям и асимптотическому поведению; можно также считать, что вычисление при нулевых массах дает асимптотическое (при больших k) поведение амплитуды поляризации вакуума в массивной квантовой электродинамике;

5) служит проверкой общих результатов, выведенных в предыдущих разделах, а именно условия поперечности тензора поляризации вакуума;

6) выявляет интересное свойство поляризации вакуума, а именно неожиданные сокращения, происходящие при больших импульсах; последнее свойство мы рассмотрим подробно в конце вычислений.

Приведем сначала ряд полезных формул, требующихся при работе с евклидовой версией тории при больших импульсах. Как и в выражениях (8.11), антиэрмитовы матрицы удовлетворяют соотношениям

    (8.101)

причем считается, что выполнено условие с (8.116)]

    (8.102)

Все стандартные тождества для сверток и следов -матриц можно вывести отсюда -размерность евклидова пространства):

В евклидовом пространстве действие в безмассовой квантовой электродинамике имеет вид

    (8.104)

В калибровке Фейнмана, правила для теории возмущений, отвечающие экспоненте , записываются следующим образом:

и, разумеется, каждой фермионной петле приписывается знак минус. Как уже отмечалось в разд (8 12), если размерность , то заряд приобретает размерность Если произвольная масса, то можно записать равенство

    (8.105)

где — безразмерная величина. Этим выражением мы будем пользоваться в любом случае, когда производится разложение в ряд вблизи чтобы правильно воспроизвести свойства однородности. Таким образом, в безмассовую теорию неизбежно прокрадывается массовый масштаб

Сначала в рамках этого формализма вычислим в однопетлевом приближении поляризацию вакуума, фермионную собственно-энергетическую часть и вершинную функцию

Собствеино-энергешческая часть воднопетлевом приближении (см. рис. 7.5 в т. 1 настоящей книги) имеет вид

При интегрировании мы использовали соотношения (8.9), в которых положили и определение В-функции Эйлера:

Определяя величину , приходим к выражению

    (8.106)

которое согласуется с (7.9), если отождествить . С учетом определений, данных в гл. 6 (см т. 1 настоящей книги), евклидова сильносвязная двухточечная функция равна по величине и противоположна по знаку пропагатору в минус первой степени, Следовательно, после введения контрчлена

перенормированная амплитуда поляризации вакуума принимает в четырех измерениях вид

    (8.107)

Здесь постоянная представляет собой малоинтересную комбинацию величин (константы Эйлера) и т. д. Подчеркнем, что нами использовались нормировочные условия нового типа. Вместо того чтобы фиксировать значение со в некоторой точке, мы решили вычесть из (8.106) только полюсный член Будем придерживаться этого удобного рецепта, который называют минимальной перенормировкой. В рамках этой процедуры автоматически выполняются тождества Уорда. Остальные две диаграммы на рис. 7.7 и 7.10 (гм. т. 1 настоящей книги) вычисляются тем же способом. Собственная энергия фермиона имеет вид

Это выражение требует перенормировки волновой функции, равной

Что касается вершинной функции, то она равна

Отсюда мы получаем следующий контрчлен:

Мы убеждаемся, что в данном порядке выполнено тождество и что же величины, что и в массивной псевдоевклидовой теории, если отождествить Ясно, что в этом вычислении не было необходимости!

Обратимся теперь к двухпетлевым диаграммам, представленным на рис 8 17, На рис. 8.17 изображены также вставки контрчленов порядка К. Две диаграммы очевидно, дают одинаковые вклады. Выразим сначала величину через амплитуду собственной энергии фермиона , определяемую выражением (8.108):

РИС. 8.17. Двухпетлевые вклады в поляризацию вакуума. Показаны также вклады контрчленов порядка

Чтобы вычислить интеграл по , воспользуемся тождеством

    (8.111)

и параметрическим представлением Это дает

После простых алгебраических выкладок получаем

    (8.112)

Разложим это выражение в окрестности и т. д. Мы находим

    (8.113)

здесь опущены постоянные члены. Нетрудно также вычисли вклад контр членов

Необходимо сделать следующие три замечания. Во-первых, вклад контрчленов обладает свойством поперечности—очевидный факт, поскольку это, но существу, однопетлевые диаграммы, вычисленные ранее Величины этим свойством не обладают. Условию поперечности удовлетворяет лишь сумма всех вкладов, изображенных на рис 8 17 Во-вторых, в сумме расходящиеся члены не сокращаются, что не является неожиданностью, поскольку для этой диаграммы еще требуется произвести общее вычитание На первый взгляд кажется удивительным, что доминирующие члены не сокращаются, поскольку внутренние расходимости были вычтены с помощью контрчленов. Но перенормированная собовенно-энергетическая часть электрона ведет себя при больших как поэтому ее вставка в условно расходящуюся диаграмму приводит к расходимости типа т. е.

Коэффициент при члене зависит от условия нормировки для диаграммы собственной энергии Как видно из выражения (8 114), изменение контрчлена на конечную величину приводит к изменению члена (а также несущественною постоянного члена). Однако в полном выражении для Гор эта зависимость отсутствует. Это иллюстрирует факт, что ренормгруиповому уравнению (8.59) удовлетворяют не отдельные диаграммы, а лишь функция Грина в данном порядке.

Мы переходим теперь к гораздо более громоздким вычислениям для диаграмм, изображенных на рис. 8.17, 6. В обозначениях, принятых на этом рисунке, вмплитуда записывается в виде

    (8.115)

где

Сначала проводится интегрирование по . Введем параметры Фейнмана для линий, которым отвечают соответственно импульсы Мы получаем выражения

    (8.116)

где использованы сокращенные обозначения Удобно сместить переменную интегрирования следующим образом:

и переписать числитель в (8.116) в виде

Таким образом, нам нужно вычислить интегралы вида

тогда как интегралы, включающие нечетные степени величины обращаются в нуль. Нам понадобятся также следы у-матриц. Из (8.103) находим

Первая квадратная скобка здесь симметрична, а вторая антисимметрична относительно згмены а на . Утомительные, но несложные алгебраические выкладки дгют

    (8.119)

Мы воспользовались здесь симметрией между . Происхождение и смысл каждого члена очевидны.

Теперь следует провести интегрирование по q. Запишем

Поскольку подынтегральное выражение содержит экспоненту

умноженную на степени величины q, произведем новый сдвир переменной интегрирования:

    (8.121)

где

Соответственно Q запишется в виде

    (8.122)

причем

Обозначим коэффициент при в показателе экспоненты через

    (8.123)

Следовательно, искомая амплитуда имеет вид

Для того чтобы вычислить следующие выражения, требуется проявить лишь терпение. Мы имеем

Следовательно,

Произведем следующую замену переменных;

Нетрудно проверить, что последний интеграл сходится при . Следовательно, пренебрегая, как выше, постоянными членами в получаем

    (8.125)

Аналогично получаем вклад, соответствующий

где интеграл по Р также сходится при Следовательно,

    (8.126)

В противоположность этому вклады от имеют внутренние расходимости при или Например, члены, пропорциональные можно записать в виде

Однако требуемое разложение в окрестности легко получается, если заметить, что для любой функции , регулярной в точках 0 и 1, выполняется соотношение

В итоге получаем

Таким образом, полный вклад, соответствующий диаграмме на рис. 8.17, б, запишется в виде

Нам остается еще вычислить вклад вершинных контрчленов, изображенных на рис 8.17, . Однако благодаря тождеству Уорда они в точности сокращаются с вкладом собственно-энергетических контрчленов . В самом деле, последние пропорциональны тогда как первые пропорциональны . Это типичное явление для квантовой электродинамики.

Складывая выражения и (8.128), окончательно получаем следующий результат:

Мы видим, что он обладает всеми требуемыми свойствами:

1. Расходящиеся члены вида которые нельзя было бы исключить с помощью локальных контрчленов, сократились.

2. Благодаря тождеству Уорда тензор поляризации вакуума, как и ожидалось, является поперечным. Это справедливо как для расходящейся, так и для конечной части. Следовательно, первую можно перенормировать с помощью контрчлена порядка удовлетворяющего условию поперечности. Для больших евклидовых с точностью до перенормированная функция дается выражением

Читатель, если он отважится, может проверить, что конечные члены, которыми мы пренебрегли, также поперечны или (это даже предпочтительнее) что полное выражение для не зависит от калибровочного параметра X.

3. К счастью, выражение (8.130) совпадает с результатами, полученными другими авторами. Мы заключаем, что в сумме отсутствует зависимость от условия нормировки собственно-энергетической части. Очевидно, что объясняется тем, что два контрчлена действительно сокращают друг друга.

4. Неожиданно мы обнаруживаем, что теперь отсутствуют расходящиеся члены с [которые в общепринятой регуляризации записываются как и, соответственно, . Это общее свойство поляризации вакуума, справедливое во всех порядках, если мы ограничиваемся диаграммами с одной фермионной петлей. Действительно, калибровочный параметр X можно последовательно в каждом порядке фиксировать таким образом, чтобы выполнялись равенства . Следовательно, выбранная подсистема диаграмм не содержит каких-либо внутренних расходимостей и ее вклад в калибровочно-инвариантную величину ведет себя как первая степень величины .

Исходя из вышесказанного, Джонсон, Вилли и Бейкер, а также Адлер высказали интересные предположения. Возможно ли, чтобы коэффициент при логарифмическом члене обращался в нуль для ненулевого значения а? Поскольку та же функция умножается на (или на ), это, по-видимому, указывало бы на то, что, переупорядочивая ряды теории возмущений, можно исключить ультрафиолетовые расходимости при некоторых подходящих значениях голых констант связи.