Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
8.4.4. Поляризация вакуума в двухпетлевом приближенииВычисление амплитуды поляризации вакуума в двухпетлевом приближении будет проведено для случая безмассовой евклидовой квантовой электродинамики Это вычисление поучительно во многих аспектах: 1) оно дает пример свойств, характерных для поправок высших порядков, т. е. свойств, не проявляющихся в однопетлевом приближении 2) демонстрирует действие размерной регуляризации в спинорном случае; 3) убеждает нас, что перенормировки можно провести даже в тех случаях, когда имеются перекрывающиеся диаграммы; 4) иллюстрирует результаты, относящиеся к безмассовым теориям и асимптотическому поведению; можно также считать, что вычисление при нулевых массах дает асимптотическое (при больших k) поведение амплитуды поляризации вакуума 5) служит проверкой общих результатов, выведенных в предыдущих разделах, а именно условия поперечности тензора поляризации вакуума; 6) выявляет интересное свойство поляризации вакуума, а именно неожиданные сокращения, происходящие при больших импульсах; последнее свойство мы рассмотрим подробно в конце вычислений. Приведем сначала ряд полезных формул, требующихся при работе с евклидовой версией тории при больших импульсах. Как и в выражениях (8.11), антиэрмитовы матрицы удовлетворяют соотношениям
причем считается, что выполнено условие
Все стандартные тождества для сверток и следов
В евклидовом пространстве действие в безмассовой квантовой электродинамике имеет вид
В калибровке Фейнмана,
и, разумеется, каждой фермионной петле приписывается знак минус. Как уже отмечалось в разд (8 12), если размерность
где Сначала в рамках этого формализма вычислим в однопетлевом приближении поляризацию вакуума, фермионную собственно-энергетическую часть и вершинную функцию Собствеино-энергешческая часть воднопетлевом приближении (см. рис. 7.5 в т. 1 настоящей книги) имеет вид
При интегрировании мы использовали соотношения (8.9), в которых положили
Определяя величину
которое согласуется с (7.9), если отождествить
перенормированная амплитуда поляризации вакуума принимает в четырех измерениях вид
Здесь постоянная представляет собой малоинтересную комбинацию величин
Это выражение требует перенормировки волновой функции, равной
Что касается вершинной функции, то она равна
Отсюда мы получаем следующий контрчлен:
Мы убеждаемся, что в данном порядке выполнено тождество Обратимся теперь к двухпетлевым диаграммам, представленным на рис 8 17,
РИС. 8.17. Двухпетлевые вклады в поляризацию вакуума. Показаны также вклады контрчленов порядка Чтобы вычислить интеграл по
и параметрическим представлением Это дает
После простых алгебраических выкладок получаем
Разложим это выражение в окрестности
здесь опущены постоянные члены. Нетрудно также вычисли
Необходимо сделать следующие три замечания. Во-первых, вклад контрчленов обладает свойством поперечности—очевидный факт, поскольку это, но существу, однопетлевые диаграммы, вычисленные ранее Величины
Коэффициент при члене Мы переходим теперь к гораздо более громоздким вычислениям для диаграмм, изображенных на рис. 8.17, 6. В обозначениях, принятых на этом рисунке, вмплитуда записывается в виде
где Сначала проводится интегрирование по
где использованы сокращенные обозначения
и переписать числитель в (8.116) в виде
Таким образом, нам нужно вычислить интегралы вида
тогда как интегралы, включающие нечетные степени величины
Первая квадратная скобка здесь симметрична, а вторая антисимметрична относительно згмены а на
Мы воспользовались здесь симметрией между Теперь следует провести интегрирование по q. Запишем
Поскольку подынтегральное выражение содержит экспоненту
умноженную на степени величины q, произведем новый сдвир переменной интегрирования:
где
Соответственно Q запишется в виде
причем
Обозначим коэффициент при
Следовательно, искомая амплитуда
Для того чтобы вычислить следующие выражения, требуется проявить лишь терпение. Мы имеем
Следовательно,
Произведем следующую замену переменных;
Нетрудно проверить, что последний интеграл сходится при
Аналогично получаем вклад, соответствующий
где интеграл по Р также сходится при
В противоположность этому вклады от
Однако требуемое разложение в окрестности
В итоге получаем
Таким образом, полный вклад, соответствующий диаграмме на рис. 8.17, б, запишется в виде
Нам остается еще вычислить вклад вершинных контрчленов, изображенных на рис 8.17, Складывая выражения
Мы видим, что он обладает всеми требуемыми свойствами: 1. Расходящиеся члены вида 2. Благодаря тождеству Уорда тензор поляризации вакуума, как и ожидалось, является поперечным. Это справедливо как для расходящейся, так и для конечной части. Следовательно, первую можно перенормировать с помощью контрчлена порядка
Читатель, если он отважится, может проверить, что конечные члены, которыми мы пренебрегли, также поперечны или (это даже предпочтительнее) что полное выражение для 3. К счастью, выражение (8.130) совпадает с результатами, полученными другими авторами. Мы заключаем, что в сумме 4. Неожиданно мы обнаруживаем, что теперь отсутствуют расходящиеся члены с Исходя из вышесказанного, Джонсон, Вилли и Бейкер, а также Адлер высказали интересные предположения. Возможно ли, чтобы коэффициент
|
1 |
Оглавление
|