8.1.2. Регуляризация

Чтобы придать смысл формальным и расходящимся выражениям, важно в качестве первого шага регуляризовать разложение теории возмущений После того как выполнены ренормализационные вычитания, эту регуляризацию можно снять произвольным образом Разработано несколько способов снятия регуляризации Окончательные результаты конечны и не зависят от выбранного способа

Наиболее простой рецепт состоит в том, чтобы произвести поворот Вика и обрезать большие значения (евклидовых) -импульсов для каждой петли Тогда любое интегрирование ограничивается компактной сферой что определенно делает любую фейнмановскую амплитуду конечной Однако при этом разрушается столь важная для нас Пуанкаре (или, точнее, евклидова) инвариантность Поэтому данный рецепт используется крайне

редко, лишь в эвристических рассуждениях. Еще один рецепт состоит в переходе к дискретному пространству-времени, т. е. в предположении о том, что конфигурационные переменные х принимают только дискретные значения, соответствующие, скажем, узлам регулярной решетки. Ясно, что обрезание на малых расстояниях эквивалентно обрезанию больших импульсов. При введении решетки утрачивается инвариантность относительно вращений.

Ковариантная регуляризация получается, если заменить пропагатор Фейнмана выражением вида

где коэффициенты зависящие от и М, подобраны таким образом, чтобы устранить некоторые из сингулярностей пропагатора GF. Какая степень сингулярности допустима, чтобы любая диаграмма Фейнмана данной теории была конечной, и, следовательно, сколько членов должно содержаться в сумме - это станет ясным после того, как мы сформулируем критерий сходимости. Здесь же достаточно сказать, что любую данную диаграмму с помощью такого вычитания можно сделать конечной, Например, в случае диаграммы собственной энергии, рассмотренной нами в разд. 8.1.1, можно сделать подстановку

или в импульсном пространстве

и убедиться в том, что это действительно так. В общем случае, если для всех вспомогательных масс ввести общее обозначение , исходный пропагагор восстанавливается, когда Поведение пропагатора при больших импульсах можно изменить также с помощью параметрического представления. Это изменение связано со следующей модификацией интегрирования в области малых значений параметра

где функция обращается в нуль вместе с несколькими своими производными при . Мы требуем также, чтобы при устранении обрезания, т. е. при выполнялось условие для всех Например, мы можем взять или , где при . Последний случай, соответствует

в импульсном пространстве пропагатору Этот тип регуляризации подробно изучался Спиром.

Иногда с целью обеспечить какие-либо свойства инвариантности, например калибровочную инвариантность, приходится прибегать к более утонченной процедуре. Для этого можно использовать регуляризацию Паули — Вилларса, которая уже встречалась нам в предыдущей главе. Каждый фотонный пропагатор заменяется суммой вида (8.2). С другой стороны, из фермионных пропагаторов модифицируются лишь те, которые входят во внутренние замкнутые фермионные петли. Точнее говоря, замкнутой петле с вершинами мы сопоставляем выражение

где Более подробно эта регуляризация рассматривается в разд. 8.4.2.

Расходящиеся интегралы Фейнмана становятся сходящимися в ультрафиолетовой области, если перейти к пространству-времени меньшей размерности. В случае размерной регуляризации и Велтмана интегралы Фейнмана вычисляются для произвольной целой размерности d пространства-времени. Результат интегрирования может быть далее аналитически продолжен на произвольные вещественные или даже комплексные значения d. В данной регуляризации ультрафиолетовые расходимости проявляются как полюс при рациональных или целых значениях d. Нас интересует в конечном итоге переход к значению d, равному четырем, т. е. к размерности физического пространства-времени. Поэтому мы сосредоточим свое внимание на простых или кратных полюсах при Такое продолжение можно определить и для теорий, содержащих у-матрицы Дирака, за исключением матрицы определение которой связано с размерностью (или в общем случае с пространством-временем четной размерности). Достоинство этого метода состоит в том, что он автоматически сохраняет внутренние симметрии, не связанные с -матрицами. Технически все действия, которые мы производим для проверки тождеств Уорда (см. гл. 7 или разд. 8.4), такие, как сдвиг переменных интегрирования, - сворачивание лоренцевых индексов и т. д., согласуются с этой регуляризацией.

Аналитическое продолжение к -мерному пространству-времени легче всего выполнить после осуществления поворота Вика в евклидову область с помощью параметрического представления, введенного в гл. 6 (см. т. 1). В самом деле, можно вычислить амплитуду (6.94) в случае произвольной целой размерности d (впредь мы будем опускать шляпки, отмечающие евклидовы

импульса);

Нетрудно заметить, что здесь применим метод, изложенный в разд. 6.2.3, и получаем следующий результат:

где функции определяются выражениями (6.86) и (6.87). Интеграл , т. е. по параметру однородности переменных а, сходится при если Таким образом,

Например, при

Полная зависимость от d может быть выделена явно, если выполнить интегрирование по а Для достаточно малых d результат является конечным. При могут появиться ультрафиолетовые расходимости либо в функции Эйлера, стоящей перед выражением (8.6), либо в интеграле по а, либо в том и другом месте одновременно. Однако в случае однопетлевых диаграмм, таких, как (8.7), бесконечной становится только величина . Если представляет собой целое неположительное число, то

и функция имеет простой полюс при При наличии также и внутренних расходимостей, связанных с интегрированием по а, этот подаю может стать кратным (см примеры, приводимые ниже).

Для полноты рассмотрения нам нужно договориться также, как следует обращаться с интегралами, включающими лоренцевы векторы и (или) спиноры Первый случай не представляет какой-либо трудности: -векторы преобразуются в -векторы, интегрирование можно выполнить, а результат продолжить на произвольные размерности. Например, в евклидовом пространстве

имеем

В данном выражении является единичным тензором в -мерном пространстве, удовлетворяющим условию

Полагают, что это условие остается справедливым и при продолжении на нецелые размерности Такой рецепт обеспечивает согласованность данного продолжения с алгебраическими действиями, такими, как свертки или сдвиги переменных интегрирования Например, нетрудно проверить, что

Обращение со спинорами требует большой осторожности. Во-первых, в исходном фейнмановском подынтегральном выражении мы отличаем у-матрицы, входящие в фермионные петли, от у-матриц, принадлежащих фермионным линиям, связанным с внешними линиями. Последние исключаются с помощью проектирующих операторов в четырех измерениях. Поэтому для каждой диаграммы следует рассматривать набор структур, включающих лишь у-матрицы, относящиеся к петлям Предполагается, что эти матрицы удовлетворяют правилам

    (8.11а)

(напомним, что мы совершили поворот Вика и, следовательно, -матрицы являются теперь антиэрмитовыми),

    (8.11в)

где — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая условию например, или Для регуляризации явный вид функции не

играет роли (он был бы, однако, существен, если бы мы действительно попытались строить теорию в -измерениях) С помощью правил (8 11) мы можем перестроить всю систему тождеств для сверток и следов произведений - у-матриц, приведенных в конце настоящей книги в приложении для в пространстве Минковского. Например,

Мы не определили -мерный аналог -матрицы. Это связано с тем, что обычное определение -матрицы опирается на существование абсолютно антисимметричного тензора , который определен только при Отсюда можно сделать заключение, что невозможно продолжить фермионные петли, содержащие нечетное число у-матриц. Это кажущееся невинным ограничение есть не что иное, как проявление, в рамках размерной регуляризации, серьезной проблемы, а именно возможного возникновения киральных аномалий (см. гл 11 и 12)

Рассмотренные выше рецепты могут показаться скептическому читателю довольно кустарными Их самосогласованность, хотя и вполне вероятная и проверенная в практических вычислениях, не была, насколько нам известно, никогда полностью доказана Особенно смущает случай безмассовых теорий. Например, мы встречаем интегралы вида

которые не зависят от какого-либо масштаба. Аналитическое продолжение такого интеграла не определено, поскольку не существует размерности d, при которой он имел бы смысл Он расходится либо в инфракрасной, либо в ультрафиолетовой области в зависимости от того, какое из неравенств, или выполнено Мы будем пренебрегать этими проблемами и придерживаться в тех случаях, где это необходимо, правила, гласящего, что такие интегралы, отвечающие безмассовым диаграммам типа «головастиков», обращаются в нуль при размерной регуляризации.

При вычислениях с этой регуляризациеи нужно помнить, что в -измерениях некоторые константы связи приобрести размерность. Например, электрический заряд, т. е. коэффициент при выражении

в безразмерном действии имеет в массовой шкале размерность

поскольку Следовательно, заменяется на где — безразмерная величина, — либо одна из масс рассматриваемых частиц, либо некоторый произвольный масштаб энергии, если все частицы безмассовые. Следовательно, при разложении результата в окрестности получаем логарифмы этого масштаба.

Будем ли мы в окрестности разлагать также и факторы входящие в выражение дело вкуса, так же как выбор функции в (8.11 в). Важный момент состоит в том, что при вычислении контрчленов калибровочно-инвариантным образом или при сравнении диаграмм с целью проверки тождеств Уорда мы всегда рассматриваем классы диаграмм с одним и тем же полным числом петель L, т. е. с одинаковыми степенями величины и с одним и тем же числом фермионных петель, с одинаковыми степенями

функции Меняя рецепт, мы не нарушим справедливости тождеств Уорда, а лишь изменим контрчлены на конечную величину.

В качестве иллюстрации рассмотрим поляризацию вакуума в скалярной электродинамике. Правила Фейнмана для этой теории приведены в гл. 6 (см. т. 1). После поворота Вика (для евклидова внешнего импульса диаграммы, приведенные на рис. 8.2, дают вклады

и

В соответствии с (8.8) выделим в сумме полюс при

Можно проверить, что а) в этой сумме расходящиеся члены, пропорциональные та, сократились, а б) тензорная структура расходящегося вклада и, следовательно, контрчлена является поперечной по отношению к Оба результата согласуются с тем, что ожидалось из калибровочной инвариантности. Вычисление конечной части рассматриваемой величины предоставляется читателю.

РИС. 8.2. Поляризация вакуума в однопетлевом приближении в скалярной электродинамике.

Можно построить и другие регуляризационные схемы. Существенным здесь является то, чтобы конечный перенормированный результат не зависел от выбора регуляризации. Однако найти регуляризацию и показать, что она делает все диаграммы конечными, недостаточно. Мы должны также доказать, что структура расходимостей такова, что они могут быть устранены с помощью допустимых контрчленов, т. е. с помощью локальных и эрмитовых полиномов от операторов полей. Например, расходимости вида или расходимости с комплексным коэффициентом были бы катастрофой. В самом конце процедуры перенормировки

мы будем действовать другим способом Мы докажем, что фейнмановские подынтегральные выражения с достаточным количеством вычитаний приводят к конечной теории Поскольку вычитания соответствуют введению допустимых контрчленов, этот вывод будет следовать a posteriori. Иными словами, никакая конкретная регуляризация не будет фигурировать в доказательстве конечности теории. Однако итоги и смысл последней процедуры были бы неясными, если бы не подразумевалось применение некоторой регуляризации, что, таким образом, является удобным и общепринятым приемом.