11.2.2. Спонтанное нарушение симметрии

Спонтанное нарушение симметрии возникает, когда основное состояние не инвариантно относительно данной группы преобразований. В этом случае группа действует в более широком несепарабельном гильбертовом пространстве, что хорошо видно на примере поведения бесконечного ферромагнетика при вращениях (см гл. 4 в т. 1 настоящей книги) Можно пояснить это с помощью следующего эвристического рассуждения Вычислим норму состояния где Q — величина, которую мы условно назовем полным зарядом:

    (11.29)

Благодаря трансляционной инвариантности правую часть этой формулы можно записать также в виде

Очевидно, что интеграл здесь будет бесконечным, когда

Наиболее характерной особенностью спонтанного нарушения, установленной Голдстоуном, является то, что нарушение непрерывных симметрий обязательно сопровождается возникновением безмассовых часгиц. Эти состояния порождаются операторами, осуществляющими инфинитезимальный «поворот» данного вакуума в другой вакуум из вырожденного набора, поскольку из физических соображений ясно, что такое преобразование не может генерировать какой-либо энергии.

Для более строгого доказательства теоремы Голдстоуна предположим, что существует сохраняющийся ток и рассмотрим некоторый оператор , такой, что

    (11.30)

В существовании такой наблюдаемой как раз и проявляется не-инвариантность вакуума. Вставим в это соотношение полный набор промежуточных состояний с определенным 4-импульсом:

    (11.31)

При обсуждении уравнения (11.10) мы уже показали, что из сохранения тока следует соотношение

    (11.32)

Таким образом, имеем

    (11.33)

Из уравнений (11.31) и (11.33) следует, что должно существовать состояние такое, что и для кото рого обращается в нуль. Это безмассовое состояние имеет такие же квантовые числа, как , поскольку порождается действием указанного оператора на вакуум.

Эти безмассовые состояния называют голдстоуновскими бозонами, связанными со спонтанным нарушением данной симметрии. Они действительно являются бозонами, если -оператор. В более общей ситуации, например в современных теориях суперсимметрий, может в действительности переносить полуцелый спин, тогда соответствующая ему безмассовая частица является фермионом. Иными словами, спин голдстоуновских состояний определяется трансформационными свойствами относительно лоренцевых преобразований.

Тонкость заключается в том, что безмассовые состояния не обязательно должны быть наблюдаемыми. Это замечание относится к теориям, имеющим нефизический сектор ненаблюдаемых состояний (к таким, например, как квантовая электродинамика в формулировке Гупта — Блейлера), и может быть существенным, если мы хотим обойти следствия теоремы Голдстоуна.

В противоположность специальным рецептам нарушения симметрии, с которыми мы встречались, например, при обсуждении октетной модели, механизм спонтанного нарушения симметрии обладает эстетической привлекательностью. Он является экономным в том смысле, что не требует введения новых параметров. Он выгоден и с теоретической точки зрения, поскольку сохраняет свойства перенормируемости. В ряде случаев присутствие безмассовых голдстоуновских частиц может оказаться нежелательным В следующей главе мы рассмотрим изящный способ преодоления этой трудности с помощью механизма Хиггса.

В качестве элементарного примера спонтанного нарушения симметрии рассмотрим свободное безмассовое скалярное поле с лагранжианом

    (11.34)

инвариантным относительно сдвига поля;

    (11.35)

Соответствующий сохраняющийся ток имеет вид

    (11.36)

Понятно, что вакуум не инвариантен относительно таких преобразований. Подставляя в выражение (11.30) вместо А поле , получаем

    (11.37)

Альтернативная точка зрения состоит в том, что полный «заряд»

    (11.38)

не является хорошо определенным. В этом случае голдстоуновский бозон представляет собой квант самого поля Интересная особенность рассматриваемого примера в том, что мы можем найти явный вид состояния, получаемого действием на вакуум

оператора Из фурье-разложения поля

следует, что в пределе бесконечного объема состояние

принимает вид

Таким образом, оно оказывается когерентной суперпозицией состояний с нулевыми энергией и импульсом. Чтобы показать, что обращается в нуль, следует быть более осторожными при переходе к бесконечному объему. Лучше всего для этого ввести гладкое обрезание в пространственных направлениях, например, следующим образом:

    (11.42)

Читатель может легко убедиться в том, что

    (11.43)

Простейшая физически осмысленная модель со спонтанным нарушением симметрии включает совокупность взаимодействующих скалярных полей, описываемых лагранжианом

    (11.44)

инвариантным относительно внутренней группы симметрии . В такой записи Ф обозначает вектор-столбец этих полей, и симметрия нарушается, если квадрат голой массы отрицателен. В классическом случае основному состоянию соответствует ненулевое среднее значение поля, поскольку минимум потенциала

    (11.45)

достигается при ненулевом значении поля (рис. 11.5):

Чтобы обеспечить стабильность теории, предположим, что большие значения энергетически подавлены, т. е. Это напоминает вырождение вакуума: каждое состояние с можно априори назвать вакуумным состоянием. Однако различным

выборам вакуумного поля соответствуют неэквивалентные гильбертовы пространства. Заметим, что такой выбор оставляет ненарушенной -подгруппу, состоящую из преобразований, сводящихся на к тождественному.

РИС. 11.5. Потенциал

Для конкретности выберем во внутреннем пространстве такую систему координат, чтобы лишь составляющая вакуумного вектора была отлична от нуля, и параметризуем поле в терминах радиального смещения и ортогонального -поворота:

Здесь обозначает генераторов группы , действующих эффективно на векторы в отличие от остальных генераторов, образующих алгебру Ли подгруппы и обращающих в нуль . Записывая лагранжиан в новых динамических переменных , имеем

Отсюда мы видим, что «угловые» переменные § соответствуют безмассовым полям, как предсказывается теоремой Голдстоуна.

В предшествующем примере, который более подробно мы изучим в разд. вырождение основного состояния возникает на классическом уровне. Однако в гл. 9 мы видели, что радиационные поправки могут изменить вид потенциала и привести к вырождению вакуума на квантовом уровне. Как показали Коулмен и Вайнберг, такой механизм реализуется в определенной модели скалярной электродинамики, В ней комплексное безмассовое бозонное поле минимальным образом взаимодействует с электромагнитным полем. При этом лагранжиан записывается в виде

    (11.49)

Комплексное поле представлено здесь своими вещественными составляющими . Кроме того, ангармоническую константу связи мы обозначили через чтобы удобнее было сравнивать однопетлевое значение эффективного потенциала с выражением (9.129), соответствующим лагранжиану

    (11.50)

Построенный по этому лагранжиану эффективный потенциал имеет вид

    (11.51)

В гл. 9 была выполнена перенормировка при значении поля, равном М, чтобы обеспечить равенство

Возвращаясь к скалярной электродинамике, можно повторить аналогичное вычисление вклада в V, учитывая факторы симметрии, указанные на рис. 11.6. Результат запишется в виде

Вычисление было выполнено в калибровке Ландау. Последняя диаграмма, приведенная на рис. 11.6, г, не дает вклада при нулевом импульсе. Наличие множителя 3 в диаграмме на рис. 11.6, в обусловлено следом тензора . Остальные веса связаны с вершинами

Логично предположить, что сравнимы по величине. Действительно, -связь генерируется дополнительной расходимостью, появляющейся в порядке Следовательно, мы можем пренебречь по сравнению с

РИС. 11.6, Относительные веса однопетлевых диаграмм для функции Грина с четырьмя полями

При этом потенциал V, определяемый выражением (11.53), имеет минимум при ненулевом значении определяемом из соотношения

Если выбрать масштаб Ф так, чтобы , т. е. положить

то придем к соотношению

    (11.56)

откуда мы действительно получаем X порядка Параметрами теории теперь являются ей Ф.

Подобные рассуждения неприменимы к обычной -теории, когда лагранжиан записывается в виде (11.50). В этом случае потенциал V действительно имеет минимум для зчачеция , такого, что

или

    (11.58)

Однако величина теперь соизмерима с основным вкладом, и можно ожидать, что квантовые поправки более высоких порядков не будут пренебре жимо малыми. Иначе говоря, в этом случае незаконно считать, что поскольку такое отождествление привело бы к большому значению константы , при котором разложение в ряд по теории возмущений становится несправедливым.

В скалярной электродинамике спонтанное нарушение симметрии не приводит к появлению какого-либо безмассового бозона. Наоборот, как векторная, так и скалярная частица приобретаю?

массы, равные

Эти массы связаны между собой замечательным соотношением:

    (11.60)

В следующей главе мы подробно объясним механизм такого поведения.

Завершим этот раздел обсуждением роли размерности пространства-времени. Теорема Мермина и Вагнера утверждает, что непрерывную симметрию можно спонтанно нарушить только при размерности большей двух Для дискретной симметрии низшая критическая размерность равна единице Фактически это хорошо известно, поскольку в квантовой механике с конечным числом степеней свободы (что соответствует теории поля в одномерном случае) туннелирование - между двумя вырожденными состояниями, отвечающими двум классическим минимумам, приводит к восстановлению единственного симметричного основного состояния С другой стороны, можно рассмотреть дискретный аналог теории поля, взяв в качестве простейшего примера модель Изинга В статистической механике. Интегралы по траекториям заменяются суммами членов вида где - энергия данной конфигурации. Для модели Изинга где сумма берется по всем смежным узлам решетки, а дискретный «спин» принимает значения ±1. Такая модель допускает дискретную симметрию, соответствующую изменению направлений всех спинов на противоположные, т. е. . В низкотемпературной фазе ниже критической точки эта симметрия оказывается спонтанно нарушенной, если пространство двумерно или имеет большее число измерений; однако в одномерном случае никаких переходов не происходит (Паперлс, 1938).

Аналогичная модель, называемая классической моделью Гейзенберга, вместо переменных ; использует единичные векторы S, на сфере В этом случае, если S - имеет составляющих, существует непрерывная группа , но при числе измерений, меньше чем 3, спонтанного намагничивания не возникает.

В рамках теории поля теорема Мермина — Вагнера была вновь открыта Коулменом. В соответствии с общей теоремой Голдстоуна спонтанное нарушение непрерывной симметрии должно было бы приводить к голдстоуновскому бозону. Но в двумерном пространстве-времени невозможно построить оператор безмассового скалярного поля Действительно, соответствующая двухточечная функция Вайтмана

    (11.61)

оказывается инфракрасно расходящимся интегралом, не имеющим смысла. При этом не удается придумать никакой процедуры вычитания, чтобы обойти эту трудность, не отказавшись от каких-либо фундаментальных свойств теории поля, например положительности метрики гильбертова пространства.

Таким образом, в двумерном мире безмассовая скалярная теория поля не определена из-за сильных инфракрасных расходимостей. В рамках статистической физики это означает, что флуктуации превышают энергию взаимодействия, разрушая в этой размерности дальний порядок.

РИС. 11.7. Две конфигурации, рассматриваемые в классической модели Гейзенберга на -мерной решетке. Одно из направлений выделено для того, чтобы указать эффект непрерывного вращения усредненного спина.

Простое доказательство объясняет происхождение этого явления. Рассмотрим дискретную классическую модель Гейзенберга на решетке. Сравним две конфигурации, изображенные на рис. 11.7, где ориентация «спина» может изменяться, скажем, вдоль направления первой оси. Действие заменяется энергией, пропорциональной соответственно . Относительный вес этих конфигураций задается фактором Больцмана

Мы видим, что в случае конфигурация на рис. 11.7, бвходит с пренебрежимо малым весом в термодинамическом пределе при достаточно низкой температуре; это означает, что предпочтителен порядок В случае усреднение по флуктуациям будет разрушать этот порядок. Аналогичные соображения для дискретных симметрий показывают, что в этом случае наименьшая критическая размерность равна единице.