12.1.2. Классическая динамика

Наша цель заключается теперь в том, чтобы определить калибровочно-инвариантное действие. Что касается введения взаимодействий с различными мультиплетами заряженных полей (материальных полей), то здесь достаточно применить принцип минимальной связи. Будем использовать всюду ковариантную производную вместо обычной:

    (12.25)

где берется в представлении, по которому преобразуются поля материи. Часть действия, зависящая от А, должна быть лоренцевым скаляром и калибровочно-инвариантной величиной, содержащей производные не выше второго порядка. Единственным кандидатом на эту роль является след свертки FF, взятый в некотором неприводимом представлении. Для простой группы Ли следы от одинаковых комбинаций генераторов в различных неприводимых представлениях с точностью до числовых множителей совпадают, так как существует единственный в алгебре Ли квадратичный инвариант. Выберем фундаментальное представление как имеющее наименьшую размерность и нормируем его генераторы следующим образом:

    (12.26)

Здесь знак минус поставлен в силу того, что t является антиэрмитовым. Например, в случае групп SU(2) и SU(3) мы соответственно выбираем

и

Действие полей А записывается в виде

Безразмерный параметр g (не путать его с элементом группы G!) играет роль константы связи. В этом можно убедиться» если произвести изменение масштаба поля Янга — Миллса:

где

Однако для простоты, прежде чем мы выведем правила Фейнмана, не будем использовать это изменение масштаба.

В общем случае алгебра Ли калибровочной группы представляет собой прямую сумму простых алгебр Ли плюс генераторы абелевых множителей. С каждым из этих слагаемых может быть связан квадратичный инвариант и независимая константа связи. Примером такого рода является модель слабого и электромагнитного взаимодействий Вайнберга—Салама, основанная на группе

. Две ее константы взаимодействия связаны с константой Ферми и электрическим зарядом (см разд. 12.6).

Классические уравнения движения полей легко вывести из принципа стационарного действия [см. (12.27)]:

Следовательно,

или (12.29)

Эти уравнения представляют собой неабелево обобщение уравнений Максвелла. Поскольку они нелинейны, решать их трудно.

Уравнения (12.29) обладают необходимым свойством ковариантности Если есть решение, то решениями будут и функции, полученные из него с помощью калибровочных преобразований. Очевидно также, что система (12.29) является совместной. В частности, свертка с дает нуль:

Полагая находим канонический тензор энергии-импульса с выражением (1.105) в т. 1 настоящей книги]:

Однако этот тензор не является калибровочно-инвариантным. Его можно сделать таковым, если вычесть из него полную производную

где были использованы полевые уравнения (12.29). Таким образом, имеем

    (12.30)

Определим аналоги электрического и магнитного полей следующим образом:

    (12.31)

Здесь, как и всюду в данной главе, будем считать индексы пространственными , а индексы — относящимися к алгебре Ли. Записывая соответствующие величины через Е и В, мы имеем

    (12.32)