8.4. СЛУЧАЙ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

Данный раздел посвящен рассмотрению проблем, характерных для квантовой электродинамики, а именно проблем, связанных с калибровочной инвариантностью и тождествами Уорда. Мы уже встречались с этими вопросами и изучали их в рамках однопетлевого приближения (см. разд. 7.1.4 в т. 1). Наша цель здесь заключается в проведении анализа во всех порядках таким образом, чтобы он согласовался с перенормировкой. Сначала дадим более последовательный и формальный вывод тождеств Уорда по сравнению с тем, который проводился в гл. 7 (см. т. 1).

8.4.1. Формальный вывод тождеств Уорда — Такахаси

Будем исходить из лагранжиана (6.25) (см. т. 1) с фотонной массой Согласно теореме Нётер, сохранение тока

было следствием инвариантности лагранжиана относительно глобальных фазовых преобразований

Это свойство приводит к соотношениям между функциями Грина, содержащими единственный оператор тока и произвольное число полей .

Наша программа состоит в том, чтобы вывести сначала систему ковариантных тождеств как следствие сохранения тока и того факта, что функции Грина можно представить через хронологические произведения в пространстве Минковского Позаботимся затем о том, чтобы эти соотношения сохранились при перенормировке Выражения, которые получаются таким способом, имеют лоренц-ковариантную форму, причем подразумевается, что мы имеем дело с ковариантнычи Г-произведениями (см. раздел 5.1.7 в т. 1). Таким образом, получаем

(Здесь угловая скобка над каким-либо членом означает, что этот член опускается.) Член, содержащий , исчез, в то время как появление остальных членов обусловлено зависимостью от содержащейся неявно в Т-произведении. Обратимся теперь к каноническим коммутационным соотношениям:

которые выражают тот факт, что и А рождают кванты электрического заряда равные соответственно

и нулю. В противоположность явному виду тока, который вытекает из минимального взаимодействия, данные соотношения или по крайней мере их интегральные версии играют ключевую роль для сохранения заряда. Тождество Уорда—Такахаси (8.75) принимает вид

Изучим далее следующие случаи:

Заметим, что соотношение (8.77) справедливо также для связных частей функций Грина. Последующее наше рассмотрение будет формальным, поскольку мы не учитываем ультрафиолетовые расходимости. В разд. 8.4.2, в котором мы введем регуляризацию, сохраняющую тождества, будет показано, что такой подход является справедливым.

РИС. 8.14. Поляризация вакуума в квантовой электродинамике.

1. Пусть — полный фотонный пропагатор, свободный фотонный пропагатор (рис. 8.14):

Из (8.77) следует, что

В импульсном пространстве это соотношение является условием поперечности амплитуды поляризации вакуума:

т. е. обобщением результата, выраженного формулой (7.6) (см. т. 1 настоящей книги).

Действительно, в импульсном пространстве соотношение (8.79) записывается в виде

где или, после умножения на

Если записать в следующей параметрической форме:

то из тождества (8.81) следует, что

Иными словами, радиационные поправки не затрагивают , а величина поляризации вакуума является поперечной.

РИС. 8.15. Вершинная функция и ее разложение на сильносвязкую вершину, одетую полными пропагаторами.

2. Соотношение между функцией собственной энергии электрона и вершинной функцией получается из рассмотрения полной (не обязательно сильносвязной, но обязательно связной) вершинной функции определяемой в виде (рис. 8.15)

В терминах вершинной функции которая нам уже встречалась в (7.46) (см. т. 1 настоящей книги), и полного электронного пропагатора мы

имеем (ср. с рис. 8.15)

Сворачивая соотношение (8.83) с и используя соотношения (8.84) и (8.79), получаем

Поскольку величина пропорциональна имеем

Мы можем теперь использовать общее тождество (8.77) при

Следовательно,

Дифференцирование по при дает

что согласуется с (7.476).

3. Наконец, тождество Уорда для амплитуды фотон-фотонного рассеяния позволяет нам отделить в виде множителей четыре степени внешних импульсов и, следовательно, уменьшить степень расходимости. Из (8.77) при получаем соотношение для четырехфотонной функции Грина:

и аналогичные условия поперечности по отношению к Отсюда следует, что

здесь антисимметрична по первой паре индексов Эта факторизация импульсов фотона может быть продолжена для без введения сингулярностей. Мы придем к четырехточечной функции, условная степень расходимости которой равна не нулю, а минус четырем.

Остается показать, что эти тождества не нарушаются операциями регуляризации и перенормировки.