9.1.2. Траектории в пространстве Баргмана — Фока

До сих пор континуальные интегралы рассматривались либо в конфигурационном [(9.12)], либо в фазовом пространстве [(9.26)]. В обоих случаях граничные условия зависели от q или на обоих пределах интегрирования. Введем теперь новый тип траекторий, подходящий для обобщения на теорию поля. Он в сильной степени инспирирован примером гармонического осциллятора, поскольку поле можно рассматривать как ансамбль взаимодействующих осцилляторов. Континуальные интегралы этого типа можно обобщить без затруднений на случай фермионных систем.

Будем использовать когерентные состояния Баргмана и Фока, которые введены в гл. 3 (см. т. 1 настоящей книги). Это дает представление операторов уничтожения и рождения

в пространстве аналитических функций комплексной переменной, которую обычно обозначают буквой с чертой над ней как комплексно-сопряженную величину а или . Причина такого выбора станет ясной из дальнейшего изложения. Если в исходной задаче об осцилляторе фигурировала частота , то, прежде чем вводить а и в соответствии с формулой (9.37), можно выполнить каноническое преобразование Аналитические функции, которые мы рассматривали, порождают гильбертово пространство со скалярным произведением

и мы имеем соответствие

которое приводит к паре сопряженных операторов. Ортонормированный базис в этом пространстве имеет вид

Унитарное преобразование отображает данный базис на более привычную систему квадратично-интегрируемых функций конфигурационной переменной q. Функциям соответствуют известные волновые функции осциллятора, а именно функции Эрмита Разумеется, являются собственными функциями оператора с собственным значением .

Обычно оператор А характеризуют его матричными элементами таким образом, что действие оператора А на вектор состояния дает волновую функцию

Проведем аналогичное построение в пространстве Баргмана—Фока. Если обозначает состояние, отвечающее функции определяемой выражением (9.40), то можно написать

Соответственно для любого состояния имеем

Ядро которое естественным образом ассоциируется с А и обладает тем свойством, что

имеет вид

Для достаточно регулярного оператора А функция является аналитической функцией двух комплексных переменных I и z. Кстати, наш выбор обозначений, в которых аргумент аналитической функции отмечается значком комплексного сопряжения, оправдывается стремлением записать операторы в такой форме.

Для представления (9.43) справедливо следующее правило суперпозиции, вытекающее из ортогональности функций

Возвращаясь к выражению (9.41), перепишем его в виде

Напомним, что проектор на основное состояние можно выразить через нормальное произведение следующим образом:

Следовательно,

Данная нормальная форма подсказывает определение нормального ядра, представляющего оператор А. Обозначим это ядро через , чтобы отличить его от ядра, которое использовалось выше. Величины рассматриваются как независимые переменные:

Чтобы получить соотношение между , можно либо использовать (9.46), либо заметить, что в гильбертовом пространстве целых функций имеется репродуцирующее ядро, аналогичное -функции Дирака, вида

В случае оператора ,

имеем

Благодаря линейности это свойство распространяется на произвольный оператор.

Исходя из соотношений (9.44) и (9.49), можно вычислить ядро, соответствующее оператору эволюции квантовомеханической задачи. Предположим, что гамильтониан задан в нормальной форме через операторы и а. Его нормальное ядро получается, если вместо операторов рождения и уничтожения подставить комплексные числа Обозначим это ядро через Для бесконечно малого интервала времени выполняется следующее приближенное соотношение:

которое сводится к ядру единичного оператора при Повторное применение соотношений (9.44) на конечном интервале приводит к континуальному интегралу

Выражение, которое получается в пределе, обозначим символически следующим образом:

Здесь переменные интегрирования остаются независимыми от величин которые фиксированы граничными условиями.

Мы видим опять, что выражение, стоящее в показателе экспоненты в (9.52), есть не что иное, как классическое действие. В самом деле, форму точнее , в соответствии с (9.37) можно записать в виде

    (9.53)

откуда следует, что нужно рассматривать как независимые переменные. Очевидно, что все сказанное выше непосредственно обобщается на гамильтонианы, зависящие от времени и на случай нескольких степеней свободы.

Вычислим оператор эволюции для гармонического осциллятора, на который воздействует зависящая от времени внешняя сила, так что гамильтониан имеет вид

Здесь - величина, комплексно-сопряженная по отношению к f. Как видно из соотношений (9.19) и (9.21), результат должен быть пропорционален где - действие, вычисленное на экстремальной траектории, удовлетворяющей классическим уравнениям движения

Решение записывается в виде

Вследствие асимметрии граничных условий эти величины, очевидно, не являются комплексно-сопряженными друг другу Соответствующий показатель экспоненты в континуальном интеграле вдоль этой траектории дается выражением

    (9.55а)

Явное вычисление континуального интеграла дает простой результат:

    (9.556)

Таким образом, в данном формализме описание осциллятора, находящегося в поле внешней силы, является очень простым. Соответствующее ядро всюду регулярно.

Имеет смысл привести здесь формулу для гауссова интегрирования, которая многократно использовалась в наших вычислениях и является краеугольным камнем при применении континуальных интегралов. Если А—матрица квадратичной формы, эрмитова часть которой положительна, a z и и обозначают векторы-столбцы из комплексных чисел, то

Заметим, что в правой части показатель экспоненты равен значению показателя экспоненты подынтегрального выражения в точке перевала.