8.2. ПЕРЕНОРМИРОВКА

8.2.1. Условия нормировки и структура контрчленов

Мы подошли теперь вплотную к самой операции перенормировкй. Сформулируем еще раз основные идеи и подчеркнем главные результаты этой операции.

Наша цель состоит в том, чтобы выразить сильносвязные функции Грина через интегралы Фейнмана, соответствующие исходным диаграммам. Этого можно достигнуть посредством трех эквивалентных процедур. В первом подходе, описанном в гл. 7 (см. т. 1), к первоначальному лагранжиану добавляется формальный ряд (по ) контрчленов. Это, в свою очередь, сводится ко второму подходу, состоящему в переопределении параметров теории в каждом порядке теории возмущений. Голые параметры, входящие в лагранжиан, являются неявными функциями перенормированных параметров. Первые ненаблюдаемы и расходятся при снятии регуляризации, в то время как последние являются истинными параметрами теории — это массы, константы связи и т. д. В следующих разделах мы увидим, что эти две процедуры эквивалентны некоторому алгоритму вычитаний в подынтегральном выражении. Достоинством этого подхода, предложенного Боголюбовым, является то, что он обеспечивает конечный результат для каждой диаграммы, не требуя регуляризации на промежуточном этапе.

Мы попытаемся манипулировать этими тремя эквивалентными подходами настолько искусно, насколько нам это удастся, и применить к решению каждой конкретной задачи наиболее подходящий из них. Например, чтобы подчеркнуть мультипликативный

характер процедуры перенормировок, обсудим сначала рекуррентную конструкцию контрчленов в произвольном порядке и затем используем связь между голой и перенормированной теорией. В заключение на основе вычитательной операции Боголюбова будет дано (эвристическое) доказательство фундаментальной теоремы о сходимости.

Построение контрчленов производится по индукции. Мы предполагаем, что теория сделана конечной до некоторого порядка (где - число петель) с помощью разумным образом подобранных контрчленов Согласно подсчету степеней расходимости [соотношения (8.13) -(8.18)], в следующем порядке лишь конечное число сильносвязных функций имеет неотрицательную условную степень расходимости. За исключением сокращений, возможных при наличии симметрии, мы сопоставляем каждой функции локальный моном из полей и их производных. Разумеется, такой моном представляет собой лоренцев скаляр; его структура отражает характер функции Грина, поскольку он должен давать вклад в изучаемый процесс, а дополнительный вклад, вносимый им в данную функцию в этом порядке, должен сокращать ее расходимость. Остается, безусловно, произвол, связанный с возможностью изменения контрчленов на конечную величину. После введения регуляризации коэффициенты при контрчленах полностью определяются условиями нормировки, налагаемыми на условно расходящиеся функции Грина. Если эти условия нормировки выполняются в низшем порядке (в приближении деревьев для исходного лагранжиана), то требование, чтобы функция Грина удовлетворяла им в каждом порядке однозначно, фиксирует не только бесконечную, но и конечную часть контрчленов

Например, в перенормируемой теории скалярного поля с массой двухточечная функция квадратично расходится Мы требуем, чтобы перенормированная функция удовлетворяла условиям

Это естественные условия для физической массы, поскольку из интерпретации теории в терминах частиц вытекает, что полный пропагатор должен иметь полюс о вычетом i при порядке регуляризованная функция уже перенормированная до порядка, записывается в виде

где функция конечна при тогда как ведет себя самое худшее как степень величины как [умноженная на ]. Контрчлен

порядка дается выражением

это определяет дополнительный вклад в вида

Поскольку в низшем порядке условия (8.30) уже удовлетворяются, в порядке они дают

откуда можно определить а и b. Аналогичное условие нормировки налагается на другую условно расходящуюся функцию, а именно на четырехточечную функцию теории . Физически разумное и симметричное условие состоит в том, чтобы эта функция принимала значение —X (перенормированная константа связи) в расположенной на массовой поверхности (но нефизической) точке

Очевидно, это согласуется со значением в низшем порядке. Аналогичные условия нормировки могут и должны быть введены в любую перенормируемую теорию.

Предыдущие рассуждения ни в коей мере не доказывают, что расходимости можно устранить с помошью контрчленов. В частности, мы не доказали того, что из равенства со следует, что ведет себя в соответствии с (8.31). В самом деле, условия того, чтобы выполнялось равенство (8.29), не выполнены, поскольку не все поддиаграммы с необходимостью сходятся, хотя, возможно, они перенормированы контрчленами низших порядков. То, что наши рассуждения тем не менее верны, выяснится фактически a posteriori, когда мы покажем, что данная процедура действительно приводит к конечной перенормированной теории. Здесь мы хотим лишь напомнить логические основы метода и подчеркнуть необходимость условий нормировки. Имеет смысл также напомнить, что перенормируемые и неперенормируемые теории различаются между собой числом этих условий. В то время как. для первых достаточно иметь конечное число условий, чтобы определить теорию с помощью конечного числа перенормированных параметров, перенормировка последних требует бесконечного набора таких условий. В конечном счете неперепормируемая теория будет зависеть от бесконечного числа параметров.

Имеется большой произвол в выборе условий нормировки. Единственное ограничение состоит в том, что они должны быть удовлетворены в низшем порядке таким образом, чтобы однозначно определялись вычитания в высших порядках. В разд. 8.2.5 мы вновь рассмотрим данный вопрос.

Благодаря этому произволу можно использовать более удобную, но физически менее очевидную промежуточную перенормировку. В случае когда все поля имеют ненулевую массу, надежнее выбрать условия нормировки в начале координат импульсного пространства. Для приведенного выше примера теории условия запишутся в виде

Определяемая этими соотношениями величина уже не является квадратом физической массы, хотя и связана с ней.

В случае частиц с ненулевым спином необходимо учитывать тензорную структуру функций Грина. Может оказаться так, что расходится лишь часть формфакторов при некоторых тензорах (например, изучая в предыдущей главе вершинную функцию, мы показали, что величина конечна, расходится). Тогда вычитания и условия нормировки необходимы только для этих формфакторов.

Одно из следствий описанной выше рекурсивной процедуры построения контрчленов имеет отношение к их структуре. В перенормируемых теориях контрчлены удовлетворяют критерию перенормируемости. Так было в случае однопетлевого приближения в спинорной электродинамике, где присутствовали лишь контрчлены вида

Аналогично в теории контрчлены имеют степень, меньшую или равную четырем: . В скалярной электродинамике ситуация несколько иная, поскольку здесь к мономам исходного лагранжиана взаимодействия, отвечающего минимальной связи, помимо контрчленов такой же структуры добавляется новый Член типа Таким образом, мы приходим к смеси электродинамики и самодействия Однако теория остается при этом перенормируемой. Отсюда также следует, что скалярная электродинамика зависит от дополнительного незапланированного параметра, а именно от значения четырехточечной функции в данной точке.

Вообще, если сильносвязная диаграмма G в перенормируемой теории условно расходится:

здесь используется выражение (8.18), при то соответствующий контрчлен содержит фермионных полей, бозонных полей и производных. Поэтому его размерность в смысле соотношения (8.17) равна

Размерность этого контрчлена меньше или равна четырем; следовательно, он также перенормируем.

В любом случае, если контрчлены имеют ту же структуру, что и мономы исходного лагранжиана, их можно рассматривать как переопределение параметров теории. Величины, которые входят в лагранжиан после добавления контрчленов к первоначальному выражению, будем рассматривать как голые параметры. Голые параметры определяются последовательно в каждом порядке теории возмущений как функции перенормированных величин таким образом, чтобы условия перенормировки были выполнены. В предыдущей главе (см. т. 1) мы рассмотрели такое построение применительно к электродинамике (см. также разд. 8.4). В случае же теории лагранжиан вместе относящимися к нему контрчленами запишется в виде

где

Данное выражение иногда называют перенормированным лагранжианом, хотя этот термин неудачный, поскольку в лагранжиан входят бесконечные коэффициенты. С точностью до замен лагранжиан имеет тот же вид, что и исходный. Напомним, что в теории возмущений

Последнее соотношение характерно для взаимодействия. A priori мы ожидали бы .

То, что перенормировка сводится к переопределению параметров, означает, что неперенормированные (или голые) и перенормированные функции Грина связаны соотношениями

Мы видим, что данное соотношение выполняется как для связных, так и для сильносвязных диаграмм. В самом деле, связные перенормированные функции вычисляются из лагранжиана которому добавлен источник . В то же время неперенормированные функции можно вычислить с помощью (при наличии регуляризации), к которому добавлена связь источника с т. е. член Дифференцируя раз по приходим к требуемому соотношению. В правой части соотношений (8.40) предполагается переход к пределу Сильносвязные функции получаются после исключения одночастично приводимых диаграмм (операции, коммутирующей с перенормировкой) и перехода к усеченным функциям путем умножения на перенормированный или неперенормированный пропагатор соответственно, откуда и следует различие в степени величины