12.4.5. Аномалии

Рассмотрим теперь представляющую физический интерес модель, о которой мы упоминали в конце разд. 12.4.3 и изучение которой мы отложили на будущее Предположим, что фермионы связаны с калибровочным полем через аксиальный ток. В предыдущей главе мы убедились в том, что аномалии могут возникать при сохранении (или квазисохранении) этого тока вследствие невозможности регуляризовать теорию, в то время как киральная симметрия сохраняется. В рамках моделей, изучаемых в гл. 11, а именно в квантовой электродинамике или в -модели, рассмотрение аномалии оказалось физически полезным для анализа распада . Если с аномальным током связано калибровочное поле (абелево или неабелево), то ситуация резко меняется. Тождества Славнова—Тейлора могут перестать выполняться, и перенормируемость окажется под сомнением. В теориях, в которых калибровочное поле является бечмассовым (такие поля рассматривались нами до сих пор), это означало бы, что потребовались бы все возможные контрчлены четвертой степени; тем самым нарушилась бы универсальность перенормировки константы связи. Положение становится еще более критическим, когда симметрия спонтанно нарушена. Как мы увидим в следующем разделе, калибровочное поле становится массивным и перенормируемость обусловлена исключительно калибровочной инвариантностью теории При этом аномалии играют пагубную роль и можно построить модели, когда из-за этих аномалий теория оказывается неперенормируемой. Именно поэтому нам необходимо найти критерий их отсутствия.

Как и в предыдущей главе, можно ограничиться рассмотрением однопетлевых диаграмм. Существует калибровочно-инвариантная

регуляризация, которая сохраняет киральную инвариантность в высших порядках (см. разд, 12.4.3). Рассмотрим калибровочную теорию, основанную на компактной группе. Иными словами, допустим присутствие абелевых факторов. Лагранжиан, включающий фермионные поля, записывается в виде

    (12.171)

где представляет собой некоторую комбинацию матриц . Легко проверить, что аномалия аксиального тока

определяемая выражением (11.225), пропорциональна величине

которая может обращаться в нуль сама по себе для каждого типа фермионов (каждого представления), связанных с калибровочным полем. В частности, это имеет место для вещественных представлений, когда матрицы Т являются антисимметричными:

    (12.173)

Однако данное условие может также возникать в результате компенсации вкладов фермионов различной природы. Эта возможность будет проиллюстрирована в разд. 12.6.4.

Вредные аномалии — это аномалии, возникающие в аксиальных токах, связанных с калибровочными полями. Например, если комбинации являются синглетами внутренней группы , то аномалии таких токов не приводят к каким-либо нежелательным последствиям. Матрицы могут относиться к другим наборам квантовых чисел, скажем к ароматам, а не цвету. Соответствующие аномалии пропорциональны величине

которая обращается в нуль, например в случае -симметрии, так как . Только ток U(1), равный

    (12.174)

содержит аномалии:

здесь . С другой стороны, имеется сохраняющийся ток

но, к сожалению, он не является калибровочно-инвариантным.