10.2.3. Обмен скалярными безмассовыми частицами в лестничном приближении
В качестве иллюстрации методов и проблем, встречающихся при исследовании релятивистских уравнений для связанных состояний, рассмотрим полученное Виком и Куткоским решение уравнения (10.52) при
Этот выбор не является полностью произвольным с физической точки зрения, поскольку, несмотря на
чрезмерное упрощение, связанное, в частности, с пренебрежением спином (в том числе спином обмениваемого поля), данный пример имеет некоторое сходство с реальными ситуациями, например со случаем позитрония Кроме того, в данном случае существует почти аналитическое решение и проявляются особенности, которые могут иметь место в более сложных моделях
Система лестничных диаграмм выглядит на первый взгляд как естественное обобщение нерелятивистской потенциальной теории. Однако в этом приближении остаются неучтенными существенные свойства релятивистской квантовой теории Из-за отсутствия перекрестных лестничных диаграмм здесь нарушается инвариантность относительно
-кроссинг-преобразования. Это означает соответствие между правильным хронологическим упорядочением релятивистских взаимодействий При этом мы ничего не можем сказать о релятивистском статическом пределе, когда одна из масс становится очень большой. В случае реальных систем такое ограничение является весьма сильным. Например, в электродинамике, если нет каких-либо особых причин, чтобы использовать частную калибровку (скажем, нековариантную кулоновскую калибровку), это приближение не будет калибровочно-инвариантным Не выполняется также важный критерий, состоящий в том, чтобы уравнение Бете—Солпитера в пределе, когда одна из масс становится очень большой, переходило в уравнение Клейна — Гордона (или Дирака в случае спина 1/2)
Чтобы удовлетворить данному критерию, необходимо включить в рассмотрение по крайней мере систему перекрестных лестничных диаграмм, приводящих к бесконечно большому ядру V. Найдите соответствующее приближение на функциональном языке уравнений (10.23) и (10.24).
Учитывая эти ограничения, вернемся к уравнению (10.52), в котором положим
и Куткоский заметили здесь аналогию с задачей об атоме водорода в импульсном пространстве и предложили использовать стереографическую проекцию на единичную сферу в пятимерном пространстве. Этот метод, предложенный Фоком в нерелятивистском случае, позволяет использовать конформные преобразования и продемонстрировать динамическую симметрию системы. Удобно обозначить через X следующую безразмерную величину:
Это соотношение напоминает нам, что g являются размерными константами связи для взаимодействия
Данный случай можно сравнить с электродинамикой, рассматривая X как постоянную тонкой структуры. Ограничимся сначала случаем равных масс
Принимая
за единицу энергии, находим
здесь Р — четырехвектор
Уравнение (10.54) можно рассматривать как уравнение на собственные значения для константы связи К, а, обратившись к теории Фредгольма, можно показать, что оно допускает дискретный спектр.
РИС. 10.6. Проектирование из четырехмерного
-пространства на сферу диаметром
Стереографическая проекция, которую более подробно мы рассмотрим в гл. 13, сводится к сопоставлению точки
в
вектору
в пятимерном пространстве на сфере радиусом
проекция которого на четырехмерное пространство направлена вдоль
с полярным углом
, таким, что
(рис. 10.6). Пусть
-дополнительные полярные углы четырехвектора
тогда
Если
— элемент телесного угла на сфере, нормированный согласно условию
то справедливо следующее равенство:
где
- угол между соответствующими векторами z и
. Наконец, определим новую функцию
с помощью соотношения
Таким образом, уравнение (10.54) запишется в виде
Предельный случай
является О (
-инвариантным, причем К пропорциональна пятимерной сферической гармонике. Пусть степень этой сферической гармоники равна
это означает, что умножение ее на
дает гармоническую функцию в пятимерном пространстве. Чтобы вычислить собственные значения [с вырождением
], достаточно применить (10.58) к сферическим гармоникам специального вида, зависящим только от угла с пятой осью. Это ортогональные полиномы (обобщающие полиномы Лежандра), полученные путем разложения по степеням величины
элементарной функции Грина
(10.59)
Таким образом, если выбрать вектор
, направленный вдоль пятой оси, то
дается выражением
что при
эквивалентно выражению
Из определяющих выражений (10.59) следует, что
таким образом,
(10.60)
В общем случае
уравнение (10.58), как и в случае атома водорода, является О
-инвариантным. Это следует из того факта, что помимо О
-инвариантных выражений в уравнение входит единственная величина
пропорциональная проекции вектора z на нулевую ось (т. е. на направление Р). Следовательно, О
-инвариантность относится к вращениям, оставляющим неподвижной нулевую ось.
Единичную сферу в
можно затем спроектировать обратно на евклидово пространство
но теперь уже из точки, расположенной
на нулевой оси. Пусть у таково, что
тогда можно рассмотреть четырехвсктор q, полученный проектированием с единичной сферы, такой, что
Выполняя преобразования, аналогичные (10.55) и (10.56), находим уравнение, обладающее явной О
-инвариантностью:
(10.61)
Разумеется, преобразование, связывающее х, можно выполнить непосредственно. Пусть
—единичный вектор, направленный вдоль нулевой оси; тогда
и
(10.62)
Инвариантностью уравнения (10.62) можно воспользоваться для того, чтобы произвести разложение по парциальным волнам в пространстве
, т. е. по
, представляющим собой
нормированные сферические гармоники группы
Положительные целые числа 1, аналогичные главному квантовому числу в атомной физике, нумеруют представления
имеющие размерность
Обычный орбитальный момент I принимает значения между 0 и
Если
отождествляется с
то гармоники образуют базис представления
где
Подгруппа
которая не меняется при комбинированном преобразовании (10.62), является диагональной подгруппой группы
В пространстве
мы имеем разложение, аналогичное (10.59), а именно
(10.63)
Определим радиальную амплитуду
с помощью соотношения
Подставляя последние два выражения в (10.61), получаем одномерное уравнение относительно переменной
(10.65)
эквивалентное дифференциальному уравнению
дополненному условиями, что при
величина
обращается в нуль, как
стремится к нулю при
Используя переменную
изменяющуюся от —1 до +1, а также функцию
такую, что
(10-68)
Вик и Куткоский записали уравнения, эквивалентные (10.65) и (10,66), в виде
и
(10.70)
при условии, что
Применяя стандартные методы к уравнению (10 66) или (10.70), мы видим, что при
имеется дискретный спектр величин
которые можно найти численными методами При фиксированном
(и
) мы имеем последовательность решений, которые нумеруются целыми числами
соответствующими числу нулей радиальной функции (за исключением граничных точек).
В случае неодинаковых масс можно провести аналогичное рассмотрение, показывающее, что здесь существует О (
-симметрия, и задача фактически сводится к случаю равных масс
. Сохраним прежние значения величины
, а именно
,
и определим следующие величины:
(10.71)
Единичный вектор n направлен вдоль P, а все эти формулы определяют комплексное конформное преобразование. Пусть контур интегрирования деформируется таким образом, чтобы конечное уравнение, которому удовлетворяет функция
(10.72)
было вещественным и записывалось в виде
Это уравнение аналогично уравнению (10.61), к которому оно сводится при
, поскольку
Напомним, что в (10.61) общая масса
была принята за единицу энергии.
Таким образом, с помощью соответствующей замены переменных соотношения, полученные для одинаковых масс, можно преобразовать в соотношения, относящиеся к неравным массам. Рассмотрим поэтому снова первый случай и уравнения (10.66) и (10.70).
Особый интерес представляет поведение вблизи порога
где ядро можно аппроксимировать выражением
Таким образом, из (10.65) следует
(10.74)
Требование согласованности, т. е. равенства обеих частей при
(мы полагаем формально
сводится к условию
(10.75)
выражая которое через энергию связи В, причем
получаем известную формулу для спектра атома водорода:
(10.76)
где
— приведенная масса, а Я, отождествляется с
. К сожалению, наше рассмотрение на этом не заканчивается.
Выражение (10.74) определяет функцию без узлов (
) и, следовательно, не приводит к ограничению на величины собственных значений, соответствующих 1. Последние отвечают аномальным решениям, для которых К не обращается в нуль в пределе нулевой энергии связи, и не имеют поэтому нерелятивистских аналогов! Вик и Куткоский показали, что соответствующие собственные значения для функции с К узлами стремятся при
к не зависящему от
пределу
Это не единственный порок данной модели. Можно изучить поправки к разумному набору решений
которые в низшем порядке воспроизводят нерелятивистский результат, т. е. соотношения (10.75) и (10.76). Такое рассмотрение показывает, что величина
где
имеет следующее разложение:
(10.78)
причем
имеет порядок
. В более физическом приближении, чем лестничный ряд, эти логарифмические члены отсутствуют.
Кроме того, Наканиши показал, что некоторые решения имеют отрицательную норму! Их называют «духами», и не ясно, возникают ли они из-за неадекватности приближения или являются проявлением более глубокой непоследовательности теории.
Проведенное выше рассмотрение можно обобщить на случай неоднородного уравнения для амплитуды рассеяния, в частности на случай высокоэнергетического поведения в перекрестном канале (соответствующем обмениваемым частицам). Можно обнаружить реджевское поведение
и вычислить соответствующую траекторию
Чтобы сократить число степеней свободы в релятивистской задаче о связанных состояниях и, в частности, избавиться от вызывающего постоянные трудности относительного времени, делались различные попытки вчести приближение эффективного потенциала (или квазипотенциала) Несмотря на то что эти попытки приводят к ишересным практическим результатам, они так или иначе нарушают последовательность теории и, вообще говоря, привносят ложные сингулярности.