10.2.3. Обмен скалярными безмассовыми частицами в лестничном приближении

В качестве иллюстрации методов и проблем, встречающихся при исследовании релятивистских уравнений для связанных состояний, рассмотрим полученное Виком и Куткоским решение уравнения (10.52) при Этот выбор не является полностью произвольным с физической точки зрения, поскольку, несмотря на

чрезмерное упрощение, связанное, в частности, с пренебрежением спином (в том числе спином обмениваемого поля), данный пример имеет некоторое сходство с реальными ситуациями, например со случаем позитрония Кроме того, в данном случае существует почти аналитическое решение и проявляются особенности, которые могут иметь место в более сложных моделях

Система лестничных диаграмм выглядит на первый взгляд как естественное обобщение нерелятивистской потенциальной теории. Однако в этом приближении остаются неучтенными существенные свойства релятивистской квантовой теории Из-за отсутствия перекрестных лестничных диаграмм здесь нарушается инвариантность относительно -кроссинг-преобразования. Это означает соответствие между правильным хронологическим упорядочением релятивистских взаимодействий При этом мы ничего не можем сказать о релятивистском статическом пределе, когда одна из масс становится очень большой. В случае реальных систем такое ограничение является весьма сильным. Например, в электродинамике, если нет каких-либо особых причин, чтобы использовать частную калибровку (скажем, нековариантную кулоновскую калибровку), это приближение не будет калибровочно-инвариантным Не выполняется также важный критерий, состоящий в том, чтобы уравнение Бете—Солпитера в пределе, когда одна из масс становится очень большой, переходило в уравнение Клейна — Гордона (или Дирака в случае спина 1/2)

Чтобы удовлетворить данному критерию, необходимо включить в рассмотрение по крайней мере систему перекрестных лестничных диаграмм, приводящих к бесконечно большому ядру V. Найдите соответствующее приближение на функциональном языке уравнений (10.23) и (10.24).

Учитывая эти ограничения, вернемся к уравнению (10.52), в котором положим и Куткоский заметили здесь аналогию с задачей об атоме водорода в импульсном пространстве и предложили использовать стереографическую проекцию на единичную сферу в пятимерном пространстве. Этот метод, предложенный Фоком в нерелятивистском случае, позволяет использовать конформные преобразования и продемонстрировать динамическую симметрию системы. Удобно обозначить через X следующую безразмерную величину:

Это соотношение напоминает нам, что g являются размерными константами связи для взаимодействия Данный случай можно сравнить с электродинамикой, рассматривая X как постоянную тонкой структуры. Ограничимся сначала случаем равных масс

Принимая за единицу энергии, находим

здесь Р — четырехвектор Уравнение (10.54) можно рассматривать как уравнение на собственные значения для константы связи К, а, обратившись к теории Фредгольма, можно показать, что оно допускает дискретный спектр.

РИС. 10.6. Проектирование из четырехмерного -пространства на сферу диаметром

Стереографическая проекция, которую более подробно мы рассмотрим в гл. 13, сводится к сопоставлению точки в вектору в пятимерном пространстве на сфере радиусом проекция которого на четырехмерное пространство направлена вдоль с полярным углом , таким, что (рис. 10.6). Пусть -дополнительные полярные углы четырехвектора тогда

Если — элемент телесного угла на сфере, нормированный согласно условию то справедливо следующее равенство:

где - угол между соответствующими векторами z и . Наконец, определим новую функцию с помощью соотношения

Таким образом, уравнение (10.54) запишется в виде

Предельный случай является О (-инвариантным, причем К пропорциональна пятимерной сферической гармонике. Пусть степень этой сферической гармоники равна это означает, что умножение ее на дает гармоническую функцию в пятимерном пространстве. Чтобы вычислить собственные значения [с вырождением ], достаточно применить (10.58) к сферическим гармоникам специального вида, зависящим только от угла с пятой осью. Это ортогональные полиномы (обобщающие полиномы Лежандра), полученные путем разложения по степеням величины элементарной функции Грина

    (10.59)

Таким образом, если выбрать вектор , направленный вдоль пятой оси, то дается выражением

что при эквивалентно выражению

Из определяющих выражений (10.59) следует, что таким образом,

    (10.60)

В общем случае уравнение (10.58), как и в случае атома водорода, является О -инвариантным. Это следует из того факта, что помимо О -инвариантных выражений в уравнение входит единственная величина пропорциональная проекции вектора z на нулевую ось (т. е. на направление Р). Следовательно, О -инвариантность относится к вращениям, оставляющим неподвижной нулевую ось.

Единичную сферу в можно затем спроектировать обратно на евклидово пространство но теперь уже из точки, расположенной

на нулевой оси. Пусть у таково, что тогда можно рассмотреть четырехвсктор q, полученный проектированием с единичной сферы, такой, что Выполняя преобразования, аналогичные (10.55) и (10.56), находим уравнение, обладающее явной О -инвариантностью:

    (10.61)

Разумеется, преобразование, связывающее х, можно выполнить непосредственно. Пусть —единичный вектор, направленный вдоль нулевой оси; тогда

и

    (10.62)

Инвариантностью уравнения (10.62) можно воспользоваться для того, чтобы произвести разложение по парциальным волнам в пространстве , т. е. по , представляющим собой нормированные сферические гармоники группы Положительные целые числа 1, аналогичные главному квантовому числу в атомной физике, нумеруют представления имеющие размерность Обычный орбитальный момент I принимает значения между 0 и

Если отождествляется с то гармоники образуют базис представления где Подгруппа которая не меняется при комбинированном преобразовании (10.62), является диагональной подгруппой группы

В пространстве мы имеем разложение, аналогичное (10.59), а именно

    (10.63)

Определим радиальную амплитуду с помощью соотношения

Подставляя последние два выражения в (10.61), получаем одномерное уравнение относительно переменной

    (10.65)

эквивалентное дифференциальному уравнению

дополненному условиями, что при величина обращается в нуль, как стремится к нулю при

Используя переменную

изменяющуюся от —1 до +1, а также функцию такую, что

    (10-68)

Вик и Куткоский записали уравнения, эквивалентные (10.65) и (10,66), в виде

и

    (10.70)

при условии, что

Применяя стандартные методы к уравнению (10 66) или (10.70), мы видим, что при имеется дискретный спектр величин которые можно найти численными методами При фиксированном (и ) мы имеем последовательность решений, которые нумеруются целыми числами соответствующими числу нулей радиальной функции (за исключением граничных точек).

В случае неодинаковых масс можно провести аналогичное рассмотрение, показывающее, что здесь существует О (-симметрия, и задача фактически сводится к случаю равных масс . Сохраним прежние значения величины , а именно ,

и определим следующие величины:

    (10.71)

Единичный вектор n направлен вдоль P, а все эти формулы определяют комплексное конформное преобразование. Пусть контур интегрирования деформируется таким образом, чтобы конечное уравнение, которому удовлетворяет функция

    (10.72)

было вещественным и записывалось в виде

Это уравнение аналогично уравнению (10.61), к которому оно сводится при , поскольку

Напомним, что в (10.61) общая масса была принята за единицу энергии.

Таким образом, с помощью соответствующей замены переменных соотношения, полученные для одинаковых масс, можно преобразовать в соотношения, относящиеся к неравным массам. Рассмотрим поэтому снова первый случай и уравнения (10.66) и (10.70).

Особый интерес представляет поведение вблизи порога где ядро можно аппроксимировать выражением

Таким образом, из (10.65) следует

    (10.74)

Требование согласованности, т. е. равенства обеих частей при (мы полагаем формально сводится к условию

    (10.75)

выражая которое через энергию связи В, причем получаем известную формулу для спектра атома водорода:

    (10.76)

где — приведенная масса, а Я, отождествляется с . К сожалению, наше рассмотрение на этом не заканчивается.

Выражение (10.74) определяет функцию без узлов () и, следовательно, не приводит к ограничению на величины собственных значений, соответствующих 1. Последние отвечают аномальным решениям, для которых К не обращается в нуль в пределе нулевой энергии связи, и не имеют поэтому нерелятивистских аналогов! Вик и Куткоский показали, что соответствующие собственные значения для функции с К узлами стремятся при к не зависящему от пределу

Это не единственный порок данной модели. Можно изучить поправки к разумному набору решений которые в низшем порядке воспроизводят нерелятивистский результат, т. е. соотношения (10.75) и (10.76). Такое рассмотрение показывает, что величина где имеет следующее разложение:

    (10.78)

причем имеет порядок . В более физическом приближении, чем лестничный ряд, эти логарифмические члены отсутствуют.

Кроме того, Наканиши показал, что некоторые решения имеют отрицательную норму! Их называют «духами», и не ясно, возникают ли они из-за неадекватности приближения или являются проявлением более глубокой непоследовательности теории.

Проведенное выше рассмотрение можно обобщить на случай неоднородного уравнения для амплитуды рассеяния, в частности на случай высокоэнергетического поведения в перекрестном канале (соответствующем обмениваемым частицам). Можно обнаружить реджевское поведение и вычислить соответствующую траекторию

Чтобы сократить число степеней свободы в релятивистской задаче о связанных состояниях и, в частности, избавиться от вызывающего постоянные трудности относительного времени, делались различные попытки вчести приближение эффективного потенциала (или квазипотенциала) Несмотря на то что эти попытки приводят к ишересным практическим результатам, они так или иначе нарушают последовательность теории и, вообще говоря, привносят ложные сингулярности.