8.4.3. Перенормировка

Нам нужно теперь показать, что перенормировку можно выполнить, не нарушая тождеств Уорда, при условии, что выбраны подходящие условия нормировки. Потребуем, чтобы выполнялись следующие условия:

    (8.96а)

Очевидно, эти условия выполняются в низшем порядке. Соотношения (8.966) и (8.96в) согласуются с тождеством (8.87), а (8 96г) и (8.96д) включают информацию, содержащуюся в (8.79) и (8.82). Что касается условий (8.96а) и (8.966), то они определяют физическую массу электрона, поскольку ими гарантируется, что полный пропагатор 5 имеет полюс с вычетом, равным единице при . Аналогично условие (8.96в) дает физическое определение

заряда как связи между фермионом на массовой поверхности и фотоном с нулевым импульсом. Однако, как уже отмечено в гл. 7 (см. т. 1), условия (8.966), (8.96в) и (8.96д) не могут выполняться, если масса фотона . В самом деле, производная от собственной энергии на массовой поверхности и, следовательно, Еершинная функция подвержены инфракрасным расходимостям, когда Поэтому есла мы настаиваем на переходе к пределу то следует выбрать другие условия нормировки. На всякий случай выберем массу малой, но конечной.

Доказательство того, что тождества Уорда сохраняются при перенормировке, проводится по индукции. Мы предполагаем, что они справедливы до данного порядка Иными словами, мы определили в данном порядке голые величины таким образом, что лагранжиан

приводит к перенормированным функциям Грина, удовлетворяющим соотношениям (8.96). Напомним, что

Кроме того, мы предполагаем, что в данном порядке тождества Уорда означают, что

В следующем порядке функции Грина пока расходятся. Мы введем калибровочно-инвариантную регуляризацию, такую, как в разд 8.4.2, чтобы регуляризовать теорию и вычислить функции Грина, используя т. е. учитывая все контрчлены низших порядков. Структура лагранжиана такова, что эти регуляризованные функции удовлетворяют тождествам, выведенным в разд. 8.4.1. Используя эти тождества и условия нормировки (8.96), можно непосредственно убедиться в том, что новые контрчлены, которые необходимо ввести в порядке, имеют ту же структуру, что и контрчлены в более низких порядках [собственно, вводить контрчлен вида нет необходимости] и

что по-прежнему выполняются соотношения (8.99).

Например,

и

Накэнец, из соотношения (8.88) следует, что

В перенормированной теории мы приходим в итоге к функциям, связанным с голыми регуляризованными функциями соотношением

    (8.100)

Эти перенормированные функции Грина удовлетворяют тождествам Уорда как тривиальному следствию мультипликативного характера перенормировок

Подчеркнем важную роль тождества в перенормировке заряда Если с электромагнитным полем связано несколько разновидностей заряженных частиц (электрон, мюон и т. д.), то тождества гарантируют универсальность перенормировки. Концепция универсальности заряда имеет смысл только благодаря этому тождеству.

Правильнее было бы говорить, что отношение перенормированного заряда к голому не зависит от типа заряженной частицы, поскольку в рамках этого ограниченного рассмотрения не существует естественного объяснения квантования заряда Интерпретация квантования заряда имеется в случае объединенных моделей слабых и электромагнитных взаимодействий, где электромагнитная калибровочная инвариантность соответствует подгруппе более широкой простой группы инвариантности (см гл. 11)

В целом метод, описанный в данном разделе, предназначен для того, чтобы показать, как симметрии связаны с тождествами Уорда, и доказать их совместимость с перенормировкой. Мы вновь вернемся к этому методу в дальнейшем при рассмотрении киральной симметрии, неабелевых калибровочных симметрий и т. д.