12.5.5. Калибровочная независимость и унитарность S-матрицы

Покажем, что все нефизические состояния — фиктивные голдстоуновские бозоны, добавочные поляризационные состояния векторного поля и поля Фаддеева—Попова—действительно не дают вклада в элементы -матрицы. Всем этим нефизическим полям соответствуют пропагаторы с полюсами при Таким образом, мы должны показать, что эта сингулярность не дает вклада в промежуточные состояния.

В простом доказательстве используют калибровочную независимость -матрицы, чтобы можно было ввести калибровку

    (12.222)

Мы предполагаем, что группа симметрии является простой и, следовательно, характеризуется одной константой связи. Кроме того, будем считать, что скалярное поле принадлежит вещественному представлению и получается трансляцией причем Эта калибровка имеет некоторые преимущества и ее открытие т’Хоофтом сыграло важную роль для дальнейшего развития теории. Она явно нарушает глобальную инвариантность. Следовательно, состояния, которые могли бы быть голдстоуновскими бозонами в отсутствие локальной симметрии, приобретают массовую матрицу

    (12.223)

Кроме того, приобретает массу также и дух Фаддеева—Попова. Оператор записывается следующим образом:

    (12.224)

так как он возникает из инфинитезимального калибровочного преобразования в , совершаемого как над А, так и над Ф. Поэтому массовая матрица духов дается выражением

    (12.225)

И наконец, этот выбор диагонализует квадратичную форму по . Перекрестный член в разложении величины — в точности сокращается с членом — возникающим из . Отсюда следует, что векторный пропагатор с помощью массовой матрицы (12.210) можно написать в виде

При можно снова получить правила Фейнмана в поперечной калибровке Ландау, в то время как при к все нефизические массы уходят на бесконечность. В последнем случае естественно ожидать, что эти состояния с огромными массами не будут давать вклада в -матрицу. В разд. 12.4.4 мы доказали, что -матрица не зависит от выбора калибровки. Представленные там аргументы были формальными из-за инфракрасных расходимостей, теперь же они обоснованы. Мы приходим к выводу, что в любой калибровке, в частности в калибровке Ландау, нефизические состояния не дают вклада. При тщательном рассмотрении следует уделить особое внимание перенормировке. Интересующиеся этим вопросом могут обратиться к специальной литературе.

Даже если исфизические частицы исчезнут из физического подпространства, останется некоторый след механизма спонтанного нарушения, а именно (массивные) компоненты скалярных полей. Вспомним также, что помимо этих скалярных хиггсовских полей безмассовыми могут оставаться и некоторые компоненты векторного поля.

Правомерно задать вопрос, а законно ли вводить скалярные поля и нельзя ли их получить как связанные состояния, например, фермион-антифермионных пар. Такое динамическое нарушение иллюстрируется двумерной безмассовой электродинамикой Швингера. Выражение для поляризации вакуума имеет полюс при нулевом импульсе, фермионы исчезают из теории, и единственным остающимся одночастичным состоянием является бозонное связанное состояние с массой . Несмотря на привлекательность такого меланизма, пока неизвестно, как можно реализовать его в четырехмерном пространстве.