Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
11.1.2. Основное состояниеСвойства симметрии системы характеризуются поведением ее основного состояния Впоследствии мы увидим, что если совокупность зарядов аннигилирует вакуум, то сохраняются соответствующие токи, а группа симметрии вводится с помощью унитарных преобразований. Напротив, если токи сохраняются, а вакуум оказывается неинвариантным, симметрия спонтанно нарушена. Если бы вакуум был не единствен, мы могли бы определить ортонормированный базис в подпространстве основных состояний, диагонализуя все коммутирующие эрмитовы наблюдаемые. Для определенности рассмотрим дискретный набор таких состояний трансляционно-инвариантные основные состояния:
Здесь суммирование выполняется по набору всех основных состояний. В силу условия причинности матричный элемент коммутатора Кажущееся вырождение вакуума может возникать вследствие грубого приближения. Реальное основное состояние единственно и определяется из требования минимума энергии. В качестве примера рассмотрим квантовомеханическую одномерную систему с потенциалом Мы можем ввести основное состояние трансляционно-инвариантным способом, требуя, чтобы оно минимизировало эффективный потенциал (Ф). Последний играет роль плотности потенциальной энергии в состоянии с данным средним значением поля. Опишем важное свойство, следующее из локальности теории. Допустим, что имеется оператор сохраняющегося тока
Ясно, что этот оператор можно корректно определить с большей вероятностью, чем его предел
Действительно, из сохранения тока следует:
Когда V становится достаточно большим, то поверхностный интеграл обращается в нуль поскольку коммутатор включает в себя локальные операторы, разделенные очень большим пространственно-подобным интервалом Это утверждение справедливо и в более общих случаях В частности, А можно заменить на любой мультилокальный оператор. Доказательство можно обобщить даже и на нерелятивистские системы при условии, что имеются лишь короткодействующие силы. Ответ на вопрос, является ли вакуум инвариантным или нет, что на первый взгляд кажется довольно тривиальным, имеет важное значение для обширного ряда ситуаций с разнообразным физическим содержанием. Что происходит, например, если вакуум инвариантен? Теорема Коулмена гласит, что соответствующие токи сохраняются. Допустим, что Q (t), т. е. пространственный интеграл от
Если в спектре имеется энергетическая щель, то из трансляционной инвариантности следует, что любое состояние с нулевым импульсом обладает тем свойством, что
поскольку этот матричный элемент не зависит от х, а в силу условия (11.11) его пространственный интеграл равен нулю. Этот вывод не вполне корректен, так как, строго говоря, рассматриваемое состояние не является нормируемым. Однако в доказательство можно внести необходимые поправки. Таким образом,
Последнее равенство следует из того факта, что Таким образом, мы делаем вывод, что
Симметрия является точной и допускает унитарное представление операторами вида
|
1 |
Оглавление
|