11.1.2. Основное состояние

Свойства симметрии системы характеризуются поведением ее основного состояния Впоследствии мы увидим, что если совокупность зарядов аннигилирует вакуум, то сохраняются соответствующие токи, а группа симметрии вводится с помощью унитарных преобразований. Напротив, если токи сохраняются, а вакуум оказывается неинвариантным, симметрия спонтанно нарушена.

Если бы вакуум был не единствен, мы могли бы определить ортонормированный базис в подпространстве основных состояний, диагонализуя все коммутирующие эрмитовы наблюдаемые. Для определенности рассмотрим дискретный набор таких состояний . Выберем любую пару операторов . Если их аргументы разделены бесконечным пространственно-подобным интервалом, то в соответствии с обобщенной леммой Римана—Лебега вклад в матричный элемент их произведения могут давать лишь промежуточные

трансляционно-инвариантные основные состояния:

Здесь суммирование выполняется по набору всех основных состояний. В силу условия причинности матричный элемент коммутатора обращается в нуль при Следовательно, матрицы коммутируют и могут быть одновременно диагонализованы. В данном секторе вакуумные матричные элементы произведения локальных операторов факторизуются, когда пространственно-подобный интервал между их аргументами становится большим. Это называется свойством кластеризации.

Кажущееся вырождение вакуума может возникать вследствие грубого приближения. Реальное основное состояние единственно и определяется из требования минимума энергии. В качестве примера рассмотрим квантовомеханическую одномерную систему с потенциалом имеющим два симметричных минимума. В квантовой механике возможно туннелирование сквозь барьер, в результате которого восстанавливается единственное симметричное основное состояние.

Мы можем ввести основное состояние трансляционно-инвариантным способом, требуя, чтобы оно минимизировало эффективный потенциал (Ф). Последний играет роль плотности потенциальной энергии в состоянии с данным средним значением поля.

Опишем важное свойство, следующее из локальности теории. Допустим, что имеется оператор сохраняющегося тока такой, что . Определим интеграл от по ограниченной области пространства V:

Ясно, что этот оператор можно корректно определить с большей вероятностью, чем его предел в котором интегрирование распространяется на все пространство. Коммутатор с локальный оператором А не зависит от времени при интегрировании по достаточно большому объему V:

Действительно, из сохранения тока следует:

Когда V становится достаточно большим, то поверхностный интеграл обращается в нуль поскольку коммутатор включает в себя локальные операторы, разделенные очень большим пространственно-подобным интервалом

Это утверждение справедливо и в более общих случаях В частности, А можно заменить на любой мультилокальный оператор. Доказательство можно обобщить

даже и на нерелятивистские системы при условии, что имеются лишь короткодействующие силы.

Ответ на вопрос, является ли вакуум инвариантным или нет, что на первый взгляд кажется довольно тривиальным, имеет важное значение для обширного ряда ситуаций с разнообразным физическим содержанием. Что происходит, например, если вакуум инвариантен? Теорема Коулмена гласит, что соответствующие токи сохраняются. Допустим, что Q (t), т. е. пространственный интеграл от хорошо определен (по крайней мере на плотном подмножестве гильбертова пространства, содержащем основное состояние) и приводит к аннигиляции вакуума:

    (11.11)

Если в спектре имеется энергетическая щель, то из трансляционной инвариантности следует, что любое состояние с нулевым импульсом обладает тем свойством, что

поскольку этот матричный элемент не зависит от х, а в силу условия (11.11) его пространственный интеграл равен нулю. Этот вывод не вполне корректен, так как, строго говоря, рассматриваемое состояние не является нормируемым. Однако в доказательство можно внести необходимые поправки. Таким образом,

    (11.12)

Последнее равенство следует из того факта, что Предполагая, что матричный элемент имеет смысл, можно утверждать, что матричный элемент его трехмерной дивергенции должен обращаться в пуль между состояниями с нулевыми -импульсами. Поскольку представляет собой лоренцев скаляр, уравнение (11.12) справедливо и для произвольного матричного элемента между вакуумом и любым другим состоянием. Следовательно аннигилирует вакуум. Можно показать, что для локального оператора это возможно только в том случае, если он сам равен нулю.

Таким образом, мы делаем вывод, что

    (11.13)

Симметрия является точной и допускает унитарное представление операторами вида