9.2. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА

В данном разделе мы обобщим сформулированный выше подход на случай взаимодействующих полей.

9.2.1. Запись S-матрицы и функций Грина через континуальные интегралы

Начнем с изучения хорошо знакомого случая нейтрального скалярного поля, связанного с внешним с-числовом источником . Запишем классическое действие

и квантовомеханический гамильтониан

Гамильтониан описывает ансамбль квантовых осцилляторов, связанных с различными внешними силами (см. гл. 3 и 4 в т. 1 настоящей книги). В данный момент времени разложение Фурье для поля имеет вид

С учетом (9.81) гамильтониан запишется следующим образом:

В этой записи гамильтониан является диагональным, и мы можем применить формулу (9.55), определяющую ядро оператора

эволюции:

Если источник выключается при то -матрица определяется как предел оператора , где получается из Н при . Для когерентных состояний, таких, которые рассматриваются в нашем случае, действие оператора сводится к простому сдвигу , где — частота осциллятора, описываемого переменной . Ядро, отвечающее -матрице, записывается следующим образом:

    (9.84)

Если опустить в этой формуле первый член в показателе экспоненты и учесть (9.49), то получится выражение для нормального ядра Остающаяся часть может быть выражена через классическое асимптотическое поле, т. е. решение однородного уравнения Клейна—Гордона :

Поскольку величина не является комплексно-сопряженной по отношению к , то определяется граничными условиями для положительных частот при и для отрицательных частот при Это известные нам смешанные граничные

условия Фейнмана. В этих обозначениях имеем:

Кроме того,

Интеграл по совпадает с пропагатором Фейнмана:

где - квантованное скалярное свободное поле. В итоге получаем

Это выражение фактически совпадает с выражением (4.63) (см. т. 1 настоящей книги), которое мы использовали как отправную точку при анализе теоремы Вика. Релятивистская инвариантность, а также фейнмановская добавка для пропагаторов, естественно, вытекают из формализма континуального интегрирования.

Чтобы получить оператор S, который будет обозначаться как мы подставим вместо и произведем нормальное упорядочение:

Учитывая соотношение

формулу (9.87) можно переписать в виде

где действует только на

Рассмотрим теперь более сложные взаимодействия. Введем, например, самодействие с помощью потенциала . При этом действие принимает вид

Как видно из обозначения, мы выбрали для простоты взаимодействие зависящее только от поля , но не от его градиента. Например, можно взять . Чтобы получить -матрицу, воспользуемся тем же ходом рассуждений, который привел нас к соотношениям (9.23) и (9.24). Иными словами, между нормальными ядрами существует следующее соотношение:

где определяется выражением (9.86).

Ряды теории возмущений получаются разложением экспоненциального оператора в (9.90). Сама -матрица может быть записана в виде

Величина представляет собой не что иное, как производящий функционал функций Грина, а предыдущая формула совпадает с (5.38) (см. т. 1 настоящей книги). Новым здесь является то, что мы вывели функциональные представления для нормальных ядер -матрицы и Z(у). Действительно, оператор генерирует самодействие, что приводит к следующему выражению:

где

В данном случае

где является функционалом от , полученным заменой в (9.81) операторов на эти с-числа:

Прежде чем совершить эту подстановку, следует переписать в нормальной форме. Наконец, чтобы получить -матрицу из оператора эволюции, кроме предельных переходов необходимо наложить свободные асимптотические условия

Нормировка континуального интеграла следует из предыдущего случая, если V отождествить с . Для краткости обозначим меру через или

Аналогично функционалы записываются в виде интегралов

Предполагается, что в меру включен нормировочный фактор, т. е.

Из выражения для получаем

т. е. теорему Вика в явном виде.

Разумеется, можно рассматривать континуальный интеграл (9.98) как формальный степенной ряд, егли учесть соотношения (9.91) и (9.99). Это позволяет нам убедиться в том, что для континуальных интегралов можно производить операции, оправданные для обычных интегралов, — такие, как замена переменных интегрирования, интегрирование по частям и т. д. В качестве примера раеемотрим следствия бесконечно малого изменения переменной вида

    (9-100)

где F — произвольный функционал от который может быть разложен в степенной ряд по Данная замена является канонической в том смысле, что отображение можно обратить (как формальный ряд), Учитывая якобиан, возникающий при замене переменной, в первом порядке по 8 получаем

Собирая члены, пропорциональные , и отделяя множители перед интегралом с помощью замены на находим

Это выражение можно также записать в виде

Данную формулу можно проверить непосредственно с помощью (9.98).

Рассмотрим это общее тождество в частном случае, когда , т. е. когда замена переменной является локальным сдвигом поля. Соотношение (9.103) при этом сводится к следующему:

В случае скалярного поля получаем в явном виде

Это тождество — прямое следствие уравнений движения — связывает -точечные функции Первая включает оператор Клейна — Гордона, вторая — вставку величины V. Все это показано на рис. 9.3

Рис. 9.3. Графическое представление уравнений (9.104а) и

Упражнения

1. Выведите соответствующее тождество, которому удовлетворяет производящий функционал для связных функций Грина

2. Обратите внимание на то, что если функционал F (X, х) локален, т. е. содержит только х в точке х, то в выражение (9.102) входит величина Каким образом можно интерпретировать эту величину?

чину? Покажите, что она имеет более высокий порядок по по сравнению с другими членами, входящими в (9.102), и что она компенсируется виковским спариванием между и членом содержащимся в

3. Используя уравнение движения, покажите, что вставка оператора позволяет сосчитать число внешних линий у функций Грина.

4. Докажите теорему эквивалентности. Последняя состоит в том, что, хотя инфинитезимальная обратимая замена полевой переменной изменяет функции Грина, она не затрагивает -матрицу, Иными словами, если то -матрица, которая получается, если записать в виде (9 91)

    (9-105)

совпадает с -матрицей, вычисленной с помощью . В самом деле, при усечении внешних линий, на которое указывает оператор действие величины сводится лишь к перенормировке волновой функции, . Покажите, что и в случае лагранжиана взаимодействия, содержащего производные, разложение континуального интеграла по теории возмущений приводит к ковариантныч правилам Фейнмана 6. В заключение обобщите формализм на поля Ферми. Запишите производящий функционал для связи Юкавы фермионов со скалярными бозонами и для случая электродинамики. В последнем примере покажите, что если замена переменных является инфинитезимальным калибровочным преобразованием, то мы получаем систему тождеств Уорда, рассмотренную в гл. 8.

В последующих главах мы будем широко пользоваться рассмотренными здесь функциональными методами получения тождеств между функциями Г рина.