12.2.2. Интегрирование по калибровочной группе

До сих пор используемые нами калибровочные преобразования не зависели от времени. Для того чтобы иметь явную лоренц-ковариантность, удобно ввести также преобразования, зависящие от времени. Мы осуществим это попутно с решением другой задачи, а именно с доказательством эквивалентности аксиальной и кулоновской калибровок.

Исключим взаимодействие с внешним источником J, заменив последний источниками, связанными с калибровочно-инвариантными величинами и рассмотрим функциональный интеграл (в данный момент времени)

    (12.69)

где - инвариантный функционал:

При калибровочном преобразовании

    (12.70)

где g рассматривается как произведение является инвариантом. Таким же свойством обладает мера , поскольку калибровочные преобразования являются каноническими. Отсюда следует, что

Поскольку условия или представляют собой два эквивалентных способа однозначного выделения (в рамках теории возмущений) представителя в каждом классе эквивалентности, то должно существовать калибровочное преобразование , такое, что

    (12.71)

Вычислим якобиан этого преобразования. Положим

    (12.72)

где через обозначено бесконечное произведение инвариантных мер на компактных группах, томорфных группе G в каждой пространственной точке

Инвариантность меры приводит к равенству

    (12.73)

Умножим выражение (12.69) на величину

    (12.74)

и изменим порядок интегрирования. Тогда, используя соотношение (12.73), выражение (12.69) можно записать в виде

    (12.75)

следствие инвариантности меры в последнем интеграле Можно заменить на , где величина такова, что

. Для упрощения введем обозначение и запишем

Поскольку достаточно (по крайней мере в рамках теории возмущений) рассмотреть лишь инфинитезимальные преобразования g и выполнить интегрирование по группе в окрестности единицы:

где а — бесконечно малая величина. При этом мера в каждой точке сводится к произведению а

Следовательно, интеграл

не зависит от А, и его можно включить в нормировочный множитель N, не зависящий от Таким образом, мы имеем

    (12.76)

Чтобы перейти к (12.68), необходимо показать, что объект пропорционален детерминанту оператора , определяемого выражением (12.67). Поскольку в умножается на достаточно выполнить вычисления лишь для поперечных полей А. При этом в интеграл, определяющий величину , вклад дают лишь бесконечно малые

    (12.77)

причем, как и в (12.67), имеем

Мы показали эквивалентность аксиальной и кулоновской калибровок лишь в той мере, в какой это касается вычисления калибровочно-инвариантных величин . Вопрос о том, что произойдет с источником и, следовательно, с функциями Грина, не изучался. Однако В предложенном выше выводе использовались только локальные канонические замены полевых переменных.

На основании теоремы эквивалентности, упоминавшейся в гл. 9, можно ожидать, что такие преобразования не изменяют физического содержания теории.

Рассмотренный выше метод интересен тем, что позволяет работать с зависящими от времени калибровочными преобразованиями и налагать ковариантные дополнительные условия. Предположим, что таким условием является

    (12.78)

Здесь - локальный функционал поля А, т. е. функция поля и его производных. Этот функционал принимает значения в соответствующей алгебре Ли и может зависеть от . Используя тот же самый метод, что и выше, находим с точностью до нормировки,

Таким образом мы пришли к рассмотрению функций Грина, определяемых производящим функционалом

    (12.79)

причем величина

    (12.80)

вычисляется для . В интеграл дают вклад лишь инфинитезимальные преобразования, поэтому

Если воспользоваться, например, лоренцевой калибровкой

то оператор запишется в виде

    (12.82)

Возвращаясь к аксиальной калибровке

мы убеждаемся, что на множестве потенциалов, ограниченных этим условием, оператор не зависит от А; следовательно, может быть включен в нормировку.

Вместо того чтобы применять каноническую гамильтонову схему квантования и производить затем различные операции с функционалами, мы могли бы модифицировать плохо определенный интеграл

вставив в него единичный множитель, записанный в виде

Калибровочная инвариантность величин и меры позволила бы тогда факторизовать бесконечный групповой объем

Этот грубый прием хорош тем, что он явно демонстрирует бесконечное вырождение степеней свободы, которое и приводит к данной проблеме.

Предыдущий анализ нетрудно обобщить на случай дополнительных условий вида

где f и заданная функция принимают значения в алгебре Ли При этом оператор входящий в (12.80), не претерпевает никаких изменений.

Вариации не зависят от С, и единственная зависимость от С обусловлена наличием калибровочного преобразования такого, что

Можно написать следующие равенства:

где второе равенство обеспечивается -функцией, приводящей . Таким образом, какой-либо след от С исчезает.

Поскольку калибровочно-инвариантные величины не должны быть чувствительными к изменениям дополнительных условий, фиксирующих калибровку, можно провести усреднение по С

с гауссовым весом, т. е. заменить величиной

В своем окончательном виде производящий функционал запишется следующим образом:

    (12.83)

Разложение по теории возмущений приводит к нелокальным взаимодействиям между калибровочными полями. Этот детерминант полезно подвергнуть еще одной операции, т. е. записать его как локальное взаимодействие некоторых фиктивных полей. Рассматривая интегрирование на алгебре Грассмана, мы получили формулу (9.76):

где -матрица . Заменяя на и обобщая этот результат на бесконечную алгебру, можно переписать в виде функционального интеграла

    (12.84)

Модифицированный, или эффективный, лагранжиан

    (12.85)

включает в себя калибровочное поле А и новые антикоммутирующие вспомогательные скалярные поля так называемые «духи» Фаддеева и Попова. Подчеркнем, что эти поля нефизические и участвуют лишь в алгебраических преобразованиях. Чтобы сохранить глобальную инвариантность, должны преобразовываться по присоединенному представлению. В лагранжиане (12,85) член, представляющий собой дух, записывается в виде

    (12.86)

Вообще говоря, ядро не является эрмитовым, поэтому в диаграммах Фейнмана линии, соответствующие духам, должны иметь определенную ориентацию. Например, если в качестве берется лоренц-ковариантное условие то

    (12.87)

В этом случае лагранжиан (12.85) принимает вид

Наличие здесь параметра К (обозначаемого также в литературе как или ) отражает тот факт, что выбор вспомогательных условий является произвольным. Выбор или принято называть соответственно калибровками Фейнмана и Ландау.