Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
12.2.2. Интегрирование по калибровочной группеДо сих пор используемые нами калибровочные преобразования не зависели от времени. Для того чтобы иметь явную лоренц-ковариантность, удобно ввести также преобразования, зависящие от времени. Мы осуществим это попутно с решением другой задачи, а именно с доказательством эквивалентности аксиальной и кулоновской калибровок. Исключим взаимодействие с внешним источником J, заменив последний источниками, связанными с калибровочно-инвариантными величинами
где
При калибровочном преобразовании
где g рассматривается как произведение
Поскольку условия
Вычислим якобиан этого преобразования. Положим
где через Инвариантность меры
Умножим выражение (12.69) на величину
и изменим порядок интегрирования. Тогда, используя соотношение (12.73), выражение (12.69) можно записать в виде
следствие инвариантности меры
Поскольку
где а — бесконечно малая величина. При этом мера в каждой точке
Следовательно, интеграл
не зависит от А, и его можно включить в нормировочный множитель N, не зависящий от
Чтобы перейти к (12.68), необходимо показать, что объект
причем, как и в (12.67), имеем
Мы показали эквивалентность аксиальной и кулоновской калибровок лишь в той мере, в какой это касается вычисления калибровочно-инвариантных величин На основании теоремы эквивалентности, упоминавшейся в гл. 9, можно ожидать, что такие преобразования не изменяют физического содержания теории. Рассмотренный выше метод интересен тем, что позволяет работать с зависящими от времени калибровочными преобразованиями и налагать ковариантные дополнительные условия. Предположим, что таким условием является
Здесь
Таким образом мы пришли к рассмотрению функций Грина, определяемых производящим функционалом
причем величина
вычисляется для
Если воспользоваться, например, лоренцевой калибровкой
то оператор
Возвращаясь к аксиальной калибровке
мы убеждаемся, что на множестве потенциалов, ограниченных этим условием, оператор Вместо того чтобы применять каноническую гамильтонову схему квантования и производить затем различные операции с функционалами, мы могли бы модифицировать плохо определенный интеграл
вставив в него единичный множитель, записанный в виде
Калибровочная инвариантность величин
Этот грубый прием хорош тем, что он явно демонстрирует бесконечное вырождение степеней свободы, которое и приводит к данной проблеме. Предыдущий анализ нетрудно обобщить на случай дополнительных условий вида
где f и заданная функция Вариации
Можно написать следующие равенства:
где второе равенство обеспечивается Поскольку калибровочно-инвариантные величины не должны быть чувствительными к изменениям дополнительных условий, фиксирующих калибровку, можно провести усреднение по С с гауссовым весом, т. е. заменить
В своем окончательном виде производящий функционал запишется следующим образом:
Разложение
где
Модифицированный, или эффективный, лагранжиан
включает в себя калибровочное поле А и новые антикоммутирующие вспомогательные скалярные поля
Вообще говоря, ядро
В этом случае лагранжиан (12.85) принимает вид
Наличие здесь параметра К (обозначаемого также в литературе как
|
1 |
Оглавление
|