10.2.2. Поворот Вика

Уравнения для связанных состояний выведены в пространстве

Минковского В своих ранних исследованиях применил аналитическое продолжение к евклидовым переменным, которое теперь принято называть поворотом Вика Нетрудно обосновать эту процедуру с помощью теории возмущений, т. е. точно, без учета появления возможных новых сингулярностей, подобных тем, которые изучались здесь Для того чтобы применить эту теорию к нашей задаче, требуется некоторая осторожность Физически существенным обстоятельством является необходимость обеспечения критерия устойчивости. Привлекательность этого приема состоит, конечно, в том, что он позволяет представить уравнение в более удобной для изучения форме

Мы будем действовать прямолинейно, полагая, что при

    (10.44)

причем

Используя представление

получаем выражения для в импульсном пространстве:

Соотношение между таково, что их скачки на разрезах являются взаимно сопряженными. Поворот к мнимой оси будет допустим при условии, что имеют соответствующий носитель по переменной Это следует из их определения, если вставить систему промежуточных состояний

    (10.48)

Для того чтобы частица 1 была стабильной, в первом выражении должно быть Это означает, что величина обращается в нуль, если не выполнены условия Аналогично во втором выражении должно быть следовательно, обращается в нуль, если не выполнены условия . В представлении (10.47) интеграл от берется в пределах от до а интеграл от g (или до причем

Поворот к мнимой оси без пересечения сингулярностей возможен, если Для стабильного связанного состояния Если выбрать систему центра масс, в которой то

Следовательно, в интегральном представлении (10.47) между двумя разрезами имеется щель

Теперь можно вернуться к уравнению Бете—Солпитера и, используя полученные результаты, выполнить поворот Вика. Для

простоты рассмотрим систему центра масс и не будем менять выбранные значения Кроме того, ограничимся так называемым лестничным приближением, т. е. ядром У, вычисленным в борновском приближении:

    (10.50)

Уравнение принимает вид

Рассмотрим аналитическое продолжение где 0 изменяется от 0 до Воспользуемся для первого члена в (10.51) представлением (10.47) и изучим по отдельности случаи Используя свойства можно убедиться в том, что при аналитическом продолжении нам не встретятся сингулярности. Во втором члене мы совершим одновременно повороты и по той же причине не встретим какой-либо сингулярности ни для величины , ни для знаменателя. Если при употребить те же обозначения для функций от евклидова аргумента, что и в псевдоевклидовой области, то окончательный результат запишется в виде

Метрика, используемая в (10.52), является евклидовой:

Обобщение рассмотренного метода на ядра высших порядков требует более детального анализа применительно к нескольким переменным. Аналогичным образом можно исследовать случай рассеяния, когда часть контура интегрирования остается зажатой между двумя разрезами. Мы оставляем изучение этих случаев читателю в качестве упражнения