Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
8.1.4. Теорема о сходимостиРассмотрим более детально связь между сходимостью интегралов Фейнмана и степенью расходимости. Заметим сначала, что, поскольку пропагаторы содержат мнимую часть Предел Определим здесь поддиаграмму g диаграммы G как подсистему вершин диаграммы G и всех внутренних линий, соединяющих их в G. Каждой сильносвязной (т. е. одночастично-неприводимой) диаграмме мы сопоставляем семейство Теорема. Если Чтобы иметь дело с относительно простыми выражениями, проведем доказательство только для случая скалярной теории без связей с производными Мы используем при этом параметрическое представление. В евклидовой области оно имеет вид
Предположим, что
Следуя Хеппу, разобьем область интегрирования на секторы:
где в друга подсистем
где
Якобиан данного преобразования равен
Область интегрирования Для любой (необязательно связной) подсистемы
где
выражается через число связных частей
Прежде всего отметим-, что при одновременном растяжении всех а в
Изучим теперь поведение полинома в случае, когда а, принадлежащие только
Равенство (8.21) выражает через деревья диаграммы О. Каждое дерево диаграммы G проектируется на
который при растяжении (8.26) ведет себя как степень величины равным числу линий подсистемы
Поскольку система
Следовательно, степень величины
Все эти деревья можно задать, если построить независимые связные деревья в каждой связной части подсистемы
Вернемся теперь к переменным
что в итоге приводит к (8.25). Коэффициент, стоящий перед ведущим членом, равен 1, так как в исходном полиноме 53 данную комбинацию степеней величины Р может иметь лишь единственный моном. Рассмотрим теперь интеграл (8.20), вычисляемый в секторе мажорируется с точностью до множителя величиной
и, поскольку В случае скалярной теории, лагранжиан которой не содержит производных, и 5 проведенного выше доказательства следует также, что, если сильносвязная поддиаграмма имеет неотрицательную условную степень расходимости, интеграл Фейнмана расходится. В самом деле, расходимость имеется по меньшей мере в одном секторе, а, поскольку интеграл является положительно-определенным, она не может сократиться. С другой стороны, в электродинамике мы встречали примеры сокращений различных членов, входящих в числитель фейнмановского подынтегрального выражения в импульсном пространстве. Например, мы показали, что диаграмма поляризации вакуума расходится лишь логарифмически, а не квадратично и что диаграмма рассеяния света на свете сходится. Ниже мы должны будем показать, что, после того как произведены вычитания во всех поддиаграммах, для которых
и является отрицательной при Из предыдущей теоремы можно сделать следующий полезный Вывод. Если диаграмма G не содержит условно расходящихся поддиаграмм, т. е. часть соответствующей амплитуды является полиномом по внешним импульсам и внутренним массам степени, меньшей или равной Читателю предоставляется в качестве простого упражнения показать, что наше доказательство теоремы остается в силе и в этом случае. Окончательно получаем
где
|
1 |
Оглавление
|