12.3. ЭФФЕКТИВНОЕ ДЕЙСТВИЕ В ОДНОПЕТЛЕВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Установленные выше правила Фейнмана приводят к теории, перенормируемой в соответствии с подсчетом степеней. Действительно, все пропагаторы ведут себя как , а все вершины имеют размерность четыре. Однако задача состоит в том, чтобы показать, что при перенормировке сохраняется калибровочная инвариантность. Прежде чем приступить к довольно длинному и технически сложному доказательству этого утверждения во всех порядках теории возмущений, поучительно провести явное вычисление эффективного действия в однопетлевом приближении.

12.3.1. Общий вид

Чтобы справиться с многочисленными индексами, воспользуемся компактной функциональной записью. Эффективное действие получим тем же способом, что и выражения (6.73) (см. т. 1) или (9.107), т. е. с помощью преобразования Лежандра

    (12.97)

где

Лоренцевы и групповые индексы здесь опущены. Производные по антикоммутирующим переменным понимаются как левые производные. Иными словами, мы будем писать

В выражении для знак минус [см. выражения (12.97)] появляется благодаря этому предписанию.

В низшем порядке величина Г сводится к действию:

    (12.98)

в то время как первая поправка получается в результате гауссова интегрирования по штрихованным переменным действия, разложенного в ряд по этим переменным до второго порядка:

Напишем квадратичную форму в явном виде:

    (12.99)

Здесь мы использовали матричные обозначения: и т. п. Эта довольно сложная форма смешивает коммутирующие и антикоммутирующие переменные. Напомним формулы

для гауссовых интегралов соответственно по коммутирующим и антикоммутирующим переменным. В смешанном случае получаем

    (12.101)

Матрицы Q и содержат коммутирующие элементы, элементы матриц а и Р принадлежат алгебре Грассмана, а Q представляет собой симметричную матрицу:

Выражение (12.101) получается путем повторного применения предшествующих формул. Другой способ его получения основан на том факте, что точное вычисление гауссовых интегралов можно выполнить методом перевала.

Эти формулы можно применить к квадратичной форме (12.99). При этом

    (12.102)

можно найти из уравнений

Если , то и Q сводятся к операторам

Обратньми по отношению к этим операторам являются свободные пропагаторы. Следовательно, эффективное действие в однопетлевом приближении, нормированное так, что дается выражением

    (12.104)

След здесь берется по внутренним и лоренцевым индексам и по пространственно-временным переменным.

Невозможно получить более точное выражение. Поскольку матрицы действуют в присоединенном представлении, удобнее рассматривать как матрицы в этом же представлении с соотношением (12.9в)]. В явном виде имеем

Таким образом, нормировка (12.26) заменяется следующей:

    (12.106)

Для группы SU (N) имеем Используя введенные нами обозначения, запишем

В фигурных скобках аргументом функций А и F является а производные действуют справа на все зависящие от члены. Ядро Q отличается от Q тем, что в него входят духи, которые не выписывались здесь в явном виде. В дальнейшем для функции и ее фурье-образа мы будем применять одно и то же обозначение:

Перейдем теперь к изучению условно расходящихся функций.