ПРИЛОЖЕНИЕ

П.1. Метрика

Метрический тензор:

Производные по контравариантным и ковариантным координатам иногда сокращенно обозначаются как

Суммирование по повторяющимся лоренцевым (обозначаются греческими буквами) или пространственным (латинские буквы) индексам подразумевается, если нет оговорок:

-вектор и трехмерная часть контравариантного -вектора обозначаются полужирными буквами:

Исключение делается только для трехмерного градиента

Оператор Д’Аламбера

Оператор -импульса

Полностью антисимметричный тензор Леви-Чивиты:

Полезные тождества:

Трехмерный антисимметричный тензор:

если получено четным числом перестановок из (1, 2, 3).

П.2. Матрицы Дирака и спиноры

Матрицы y удовлетворяют соотношениям

где -эрмитова матрица, а у — антиэрыитовы матрицы, записываемые через -матрицы следующим образом:

Коммутатор -матриц

удовлетворяет соотношениям

Эрмитово сопряжение:

Для любых спиноров и любых -матриц Г справедливо тождество

соответствующее тождество для двух антикоммутирующих полей со спином 1/2 включает дополнительный знак минус. Матрица зарядового сопряжения:

Матрицы Паули:

Представление Дирака:

Представление Майорана:

Связь представления Майорана с представлением Дирака:

Киральное представление:

Связь кирального представления с представлением Дирака:

Свертка по -индексам:

Следы:

След произведения нечетного числа -матриц равен нулю:

где -сигнатура перестановки а сумма берется по различным парам с номерами, удовлетворяющими соотношениям

Спиноры Дирака , т. е. решения уравнения Дирака

являются функциями -импульса на массовой поверхности, причем и им приписывают индексы поляризации Сопряженные спиноры:

Нормировка:

Плотности заряда и тока:

Операторы проектирования на состояния с положительной и отрицательной энергиями:

Проекторы на состояния с определенной поляризацией вдоль пространственно-подобного -вектора , ортогонального

Пояснения к выбору спиральных состояний даются в разд. 2.2.1 (см. т. 1 настоящей книги).

Тождества Гордона:

например,

П.3. Нормировка состояний, S-матрица, унитарность и формулы для сечений

Нормировка однобозонных состояний:

где и опущены индексы поляризации.

Нормировка однофермионных состояний:

[Для безмассовых фермионов, таких, как нейтрино, в промежуточных вычислениях надежнее использовать нормировку в виде (П.40).]

S-матрица и инвариантная амплитуда рассеяния:

Дифференциальное сечение рассеяния из начального состояния не содержащего массивные фермионы, в конечное состояние

Фактор S для случая, когда имеется идентичных частиц сорта i в конечном состоянии:

Мера обычно обозначает величину

за исключением массивных фермионов, для которых

Соответственно, если падающие частицы 1 и (или) 2 являются массивными фермионами, выражение следует умножить на и (или)

Формула может быть дополнена усреднением по поляризациям начальных и суммированием по поляризации конечных состояний.

Скорость распада частицы с массой М на частицы в системе покоя частицы определяется правой частью выражения причем фактор протока — заменяется на . В случае когда имеются фермионы, следует произвести изменения, указанные выше.

Дифференциальное сечение рассеяния двух нетождественных частиц:

здесь использованы переменные Мандельстама: и начальный и конечный -импульсы в системе центра масс:

Оптическая теорема: полное сечение рассеяния выражается через мнимую часть амплитуды упругого рассеяния вперед

Разложение на парциальные амплитуды для бесспиновых частиц

причем

Унитарность ниже упругого порога:

Обобщение этих формул на случай частиц со спинами кратко рассматривалась в гл. 5. (см. т. 1 настоящей книги).

П.4. Правила Фейнмана

Приведем правила Фейнмана для вычисления конкретной функции Грина или амплитуды рассеяния.

1. Изобразить все возможные топологически различные диаграммы—связные или несвязные (но без -какуумных поддиаграмм), дающие вклад в исследуемый процесс в требуемом порядке.

2. Каждой диаграмме и каждой внутренней линии сопоставить пропагатор:

для векторного бозона с массой в калибровке Штюкельберга, т. е. описываемого лагранжианом с кинетической частью

3. Каждой вершине сопоставить вес, соответствующий мономиальному лагранжиану взаимодействия. Вес составляется из следующих величин: а) фактора, обусловленного вырождением по тождественным частицам в данной вершине; б) константы связи, входящей в возможных тензоров по внутренним индексам и г) дельта-функции выражающей закон сохранения -импульса. Каждой производной поля сопоставляется величина где — соответствующий входящий импульс. Ниже мы приведем вершины, встречающиеся в наиболее общепринятых теориях.

4. Выполнить интегрирование по всем внутренним импульсам с мерой возможное после регуляризации,

5. Вклад от каждой диаграммы умножить

а) на фактор симметрии где S — порядок группы перестановок внутренних линий и вершин, оставляющих диаграмму неизменной, когда внешние линии являются фиксированными;

б) на —1 для каждой фермионной петли;

в) на общий знак от внешних фермионных линий, отвечающий их перестановке, по отношению к аргументам данной функции Грина (см. гл. 6 в т. 1 настоящей книги).

Эти правила дают усеченные функции, не содержащие факторов, соответствующих внешним линиям. Связные функции получаются, если оставить только связные диаграммы и приписать внешним линиям пропагаторы Вклады в сильносвяэные функции Грина дают одночасгично неприводимые диаграммы.

Окончательно, амплитуду рассеяния можно получить с точностью до перенормировки, согласно сформулированным выше правилам, в предположении, что внешние линии находятся на массовой поверхности, т. е. полагая и при условии, что внешние фермионные линии снабжены спинорами в соответствии с тем, входят ли линии в диаграмму или выходят из нее и принадлежат ли они начальному или конечному состоянию .

Стандартные теории

Пропагатор

Вершина

2. Квантовая электродинамика:

Фотонный пропагатор (П.53 б) с

Фермионный пропагатор (П.52):

3. Скалярная электродинамика:

Фотонный пропагатор

Скалярный пропагатор направленный вдоль потока заряда. Вершины:

4. Неабелева калибровочная теория:

Векторный пропагатор дается выражением

Пропагатор духа дается выражением

Знак минус для каждой духовой петли.

Вершины:

Вершина вектор-духового взаимодействия:

Вершина фермион-векторного взаимодействия: ккца

Вершины скаляр-векторных взаимодействий:

где -антиэрмитов оператор.