9.3.2. Электромагнитное поле как пример

Чтобы познакомиться ближе с рассмотренным выше методом квантования, вернемся к случаю электромагнитного поля с с-числовым внешним сохраняющимся током В этом случае действие записывается в виде

Вместо того чтобы в качестве динамической переменной использовать только потенциал, мы предпочтем так называемый формализм первого порядка, в котором основными переменными являются как поля, так и потенциалы. Перепишем действие следующим образом.

Это выражение сводится к предыдущему, если в него вместо Е и В подставить их выражения через и А Варьируя действие по полю, мы находим соотношения между полем и потенциалом:

    (9.167а)

которые приводят к первой паре однородных уравнений Максвелла:

    (9.167б)

Вариация по А дает вторую пару уравнений:

    (9.168)

Заметим, что

Среди этих уравнений выступают в качестве связей. Первое из них можно решить просто, заменяя всюду В на . После интегрирования по частям получаем следующее выражение для действия:

    (9.169)

Сравнивая данное выражение с (9.138), видим, что как и играет роль множителя Лагранжа, которому не соответствует какая-либо сопряженная переменная. Таким образом, мы пришли к отождествлению канонических переменных соответственно. Скобки Пуассона определяются посредством соотношения

    (9.170)

Условия совместимости (9.152) необходимо обобщить, чтобы охватить случаи, когда зависит от времени. Эти условия записываются теперь в виде

    (9.171)

где дифференцирование по времени выполняется для функции, имеющей явную зависимость от времени. В нашем случае и

Условие (9.171) сводится к равенству

    (9.172)

которое выполняется тождественно благодаря сохранению тока. Таким образом, за исключением этого минимального обобщения, рассматриваемый случай укладывается в рамки описания, приведенного в разд. 9.3.1.

Остается выбрать вспомогательные условия Разумеется, такой выбор в значительной степени является произвольным. В случае когда как g, так и связь являются линейными относительно динамических переменных, имеет место серьезное упрощение. При этих условиях не зависит от переменных и, следовательно, его можно включить в нормировку континуального интеграла. Допустимым условием является следующее:

    (9.173)

где — произвольная функция.

Вернемся к ковариантным обозначениям и запишем амплитуду перехода в виде

    (9.174)

Интеграл Гаусса по В автоматически осуществляет подстановку . Аналогично интеграл по Е дает вместо электрического поля его значение Выполняя эти действия, получаем следующее выражение для амплитуды:

    (9.175)

Это не совсем то выражение, которое использовалось в предыдущих главах. Однако, поскольку (9.175) не зависит от произвольной функции ), можно получить полную идентификацию данных выражений, интегрируя по этим функциям с весом Обозначая разность через находим окончательный вариант континуального интеграла, который совпадает с известным выражением

    (9.176)

Данный подход иллюстрирует произвол, связанный g калибровочной инвариантностью. Имеет также смысл сравнить его с операторным формализмом.